9本の異なる色鉛筆を以下の条件で分ける場合の数を求めます。 (1) 4本, 3本, 2本の3組に分ける。 (2) 3本ずつ3人の生徒に分ける。 (3) 3本ずつ3組に分ける。 (4) 5本, 2本, 2本の3組に分ける。

1. 問題の内容

9本の異なる色鉛筆を以下の条件で分ける場合の数を求めます。

(1) 4本, 3本, 2本の3組に分ける。

(2) 3本ずつ3人の生徒に分ける。

(3) 3本ずつ3組に分ける。

(4) 5本, 2本, 2本の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4本, 3本, 2本の3組に分ける場合

9本から4本を選び、次に残りの5本から3本を選び、最後に残りの2本を選ぶ場合の数を計算します。

$_9C_4 \times _5C_3 \times _2C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{4!3!2!}$

(2) 3本ずつ3人の生徒に分ける場合

9本から3本を選び、次に残りの6本から3本を選び、最後に残りの3本を選ぶ場合の数を計算します。ただし、生徒は区別されるので、これで計算は完了です。

$_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!}$

(3) 3本ずつ3組に分ける場合

9本から3本を選び、次に残りの6本から3本を選び、最後に残りの3本を選ぶ場合の数を計算します。ただし、組は区別されないので、(2)の場合の数を3!で割る必要があります。

$\frac{_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3}{3!} = \frac{9!}{3!3!3!3!}$

(4) 5本, 2本, 2本の3組に分ける場合

9本から5本を選び、次に残りの4本から2本を選び、最後に残りの2本を選ぶ場合の数を計算します。ただし、2本ずつの組は区別されないので、2!で割る必要があります。

$\frac{_9C_5 \times _4C_2 \times _2C_2}{2!} = \frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} \div 2! = \frac{9!}{5!2!2!2!}$

3. 最終的な答え

(1) 1260通り

$\frac{9!}{4!3!2!} = \frac{362880}{24 \times 6 \times 2} = \frac{362880}{288} = 1260$

(2) 1680通り

$\frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$

(3) 280通り

$\frac{9!}{3!3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6 \times 6} = \frac{1680}{6} = 280$

(4) 378通り

$\frac{9!}{5!2!2!2!} = \frac{362880}{120 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = \frac{3024}{8} = 378$

まとめると

(1) 1260通り

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 378通り