与えられた4つの行列 A, B, C, D に対して、それぞれの逆行列 $A^{-1}, B^{-1}, C^{-1}, D^{-1}$ と、逆行列の行列式 $|A^{-1}|, |B^{-1}|, |C^{-1}|, |D^{-1}|$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列 A, B, C, D に対して、それぞれの逆行列 $A^{-1}, B^{-1}, C^{-1}, D^{-1}$ と、逆行列の行列式 $|A^{-1}|, |B^{-1}|, |C^{-1}|, |D^{-1}|$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2x2行列の逆行列を求める公式を思い出します。

行列 $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列 $M^{-1}$ は、行列式 $det(M) = ad - bc$ が0でないとき、以下のように与えられます。

$M^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

また、逆行列の行列式は、元の行列の行列式の逆数になります。すなわち、$|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$

それでは、各行列について逆行列と逆行列の行列式を計算します。

* **行列 A:** $A = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

* $det(A) = (0)(0) - (5)(3) = -15$

* $A^{-1} = \frac{1}{-15} \begin{pmatrix} 0 & -5 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} & 0 \end{pmatrix}$

* $|A^{-1}| = \frac{1}{det(A)} = \frac{1}{-15} = -\frac{1}{15}$

* **行列 B:** $B = \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ 4 & -9 \end{pmatrix}$

* $det(B) = (3)(-9) - (-7)(4) = -27 + 28 = 1$

* $B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -9 & 7 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & 7 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$

* $|B^{-1}| = \frac{1}{det(B)} = \frac{1}{1} = 1$

* **行列 C:** $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$

* $det(C) = (2)(6) - (0)(0) = 12$

* $C^{-1} = \frac{1}{12} \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$

* $|C^{-1}| = \frac{1}{det(C)} = \frac{1}{12}$

* **行列 D:** $D = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$

* $det(D) = (3)(4) - (-6)(-2) = 12 - 12 = 0$

* 行列式が0なので、逆行列は存在しません。よって、$D^{-1}$ は存在しない。

* $|D^{-1}|$ も存在しません。

3. 最終的な答え

* $A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} & 0 \end{pmatrix}$, $|A^{-1}| = -\frac{1}{15}$

* $B^{-1} = \begin{pmatrix} -9 & 7 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$, $|B^{-1}| = 1$

* $C^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$, $|C^{-1}| = \frac{1}{12}$

* $D^{-1}$ は存在しない, $|D^{-1}|$ は存在しない