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与えられた積分方程式を理解し、解く（あるいは簡略化する）ことが目的です。方程式は2つあります。 $ \int_A x \, dA = \int_A x \, 1 \, dA - \int_A x \, G \, dA $ $ \int_A y \, dA = \int_A y \, 1 \, dA - \int_A y \, G \, dA $

解析学積分方程式多重積分解法
2025/6/17

1. 問題の内容

与えられた積分方程式を理解し、解く（あるいは簡略化する）ことが目的です。方程式は2つあります。
∫Ax dA=∫Ax 1 dA−∫Ax G dA \int_A x \, dA = \int_A x \, 1 \, dA - \int_A x \, G \, dA
∫Ay dA=∫Ay 1 dA−∫Ay G dA \int_A y \, dA = \int_A y \, 1 \, dA - \int_A y \, G \, dA

2. 解き方の手順

まず、1つ目の式を考えます。
∫Ax dA=∫Ax 1 dA−∫Ax G dA \int_A x \, dA = \int_A x \, 1 \, dA - \int_A x \, G \, dA
右辺の2つの積分を左辺に移項すると、
∫Ax dA−∫Ax 1 dA+∫Ax G dA=0 \int_A x \, dA - \int_A x \, 1 \, dA + \int_A x \, G \, dA = 0
積分記号をまとめると、
∫A(x−x+xG) dA=0 \int_A (x - x + xG) \, dA = 0
∫AxG dA=0 \int_A xG \, dA = 0
次に、2つ目の式を考えます。
∫Ay dA=∫Ay 1 dA−∫Ay G dA \int_A y \, dA = \int_A y \, 1 \, dA - \int_A y \, G \, dA
右辺の2つの積分を左辺に移項すると、
∫Ay dA−∫Ay 1 dA+∫Ay G dA=0 \int_A y \, dA - \int_A y \, 1 \, dA + \int_A y \, G \, dA = 0
積分記号をまとめると、
∫A(y−y+yG) dA=0 \int_A (y - y + yG) \, dA = 0
∫AyG dA=0 \int_A yG \, dA = 0

3. 最終的な答え

∫AxG dA=0 \int_A xG \, dA = 0
∫AyG dA=0 \int_A yG \, dA = 0

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