(1) 等式 $x + y + z = 10$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組の個数を求めよ。 (2) 等式 $x + y + z = 10$ を満たす正の整数 $x, y, z$ の組の個数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 等式 $x + y + z = 10$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組の個数を求めよ。

(2) 等式 $x + y + z = 10$ を満たす正の整数 $x, y, z$ の組の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 負でない整数解の個数を求める問題なので、重複組み合わせを利用する。

$x + y + z = 10$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組の個数は、3種類の文字から重複を許して10個選ぶ組み合わせの数に等しい。

これは $_3H_{10}$ で表され、組み合わせの記号を用いて計算すると以下のようになる。

$_{3}H_{10} = _{3+10-1}C_{10} = _{12}C_{10} = _{12}C_{2} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$

(2) 正の整数解の個数を求める問題なので、まず各変数から1を引いて非負整数に変換する。

$x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1$ とすると、$x', y', z'$ は負でない整数であり、

$x + y + z = (x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 10$

$x' + y' + z' = 10 - 3 = 7$

したがって、$x' + y' + z' = 7$ を満たす負でない整数 $x', y', z'$ の組の個数を求めればよい。

これは $_3H_7$ で表され、組み合わせの記号を用いて計算すると以下のようになる。

$_{3}H_7 = _{3+7-1}C_{7} = _{9}C_{7} = _{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

3. 最終的な答え

(1) 66個

(2) 36個