与えられた2つの関数を微分する問題です。 (1) $x^x$ (2) $\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分する問題です。

(1) $x^x$

(2) $\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^x$ の微分

対数微分法を使用します。両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$

(2) $y = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$ の微分

これも対数微分法を使うのが楽です。両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) = \frac{1}{2} \left( \ln(1-x^2) - \ln(1+x^2) \right)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-2x}{1-x^2} - \frac{2x}{1+x^2} \right) = -x \left( \frac{1}{1-x^2} + \frac{1}{1+x^2} \right)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -x \left( \frac{1+x^2+1-x^2}{(1-x^2)(1+x^2)} \right) = -x \left( \frac{2}{1-x^4} \right) = \frac{-2x}{1-x^4}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{-2x}{1-x^4} \right) = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{-2x}{1-x^4} = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{-2x}{(1-x^2)(1+x^2)} = \frac{-2x}{(1-x^2)^{1/2} (1+x^2)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

または $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{\sqrt{1-x^2} (1+x^2)^{3/2}}$

あるいは $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{(1-x^2)^{1/2} (1+x^2)^{3/2}}$

または $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{\sqrt{1-x^4}\sqrt{1+x^2}}$