問題1：$V = \mathbb{R}^3$ の部分集合 $L = \{\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}$ が $V = \mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうか調べる。 問題2：次の部分空間 $L$ の基底を計算する。 (1) $L = \langle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \rangle$ (2) $L = \{\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \}$

1. 問題の内容

問題1：$V = \mathbb{R}^3$ の部分集合 $L = \{\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}$ が $V = \mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうか調べる。

問題2：次の部分空間 $L$ の基底を計算する。

(1) $L = \langle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \rangle$

(2) $L = \{\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \}$

2. 解き方の手順

問題1：

$L$ が $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

(1) ゼロベクトル $\vec{0}$ が $L$ に含まれる。

(2) $L$ の任意の元 $\vec{x}, \vec{y}$ に対して、$\vec{x} + \vec{y}$ が $L$ に含まれる（加法について閉じている）。

(3) $L$ の任意の元 $\vec{x}$ と任意のスカラー $c$ に対して、$c\vec{x}$ が $L$ に含まれる（スカラー倍について閉じている）。

(1) $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ について、$0 - 0 + 0 = 0$ なので、ゼロベクトルは $L$ に含まれます。

(2) $\vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in L$ かつ $\vec{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} \in L$ とすると、$x_1 - x_2 + x_3 = 0$ かつ $y_1 - y_2 + y_3 = 0$ が成り立ちます。

$\vec{x} + \vec{y} = \begin{bmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_3 + y_3 \end{bmatrix}$ について、

$(x_1 + y_1) - (x_2 + y_2) + (x_3 + y_3) = (x_1 - x_2 + x_3) + (y_1 - y_2 + y_3) = 0 + 0 = 0$

よって、$\vec{x} + \vec{y} \in L$ です。

(3) $\vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in L$ とすると、$x_1 - x_2 + x_3 = 0$ が成り立ちます。

$c\vec{x} = \begin{bmatrix} cx_1 \\ cx_2 \\ cx_3 \end{bmatrix}$ について、$cx_1 - cx_2 + cx_3 = c(x_1 - x_2 + x_3) = c(0) = 0$

よって、$c\vec{x} \in L$ です。

したがって、$L$ は $\mathbb{R}^3$ の部分空間です。

問題2(1)：

$L$ を生成するベクトルが線形独立かどうかを調べます。

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ について、

$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この線形結合が自明な解 $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のみを持つかどうかを調べます。

連立方程式は次のようになります。

$c_1 + c_3 = 0$

$c_2 + c_3 = 0$

$c_1 + c_2 + 2c_3 = 0$

1つ目の式と2つ目の式から、$c_1 = -c_3$ および $c_2 = -c_3$ が得られます。

これらを3つ目の式に代入すると、$-c_3 - c_3 + 2c_3 = 0$ となり、これは常に成立します。

$c_3 = 1$ とすると、$c_1 = -1$ および $c_2 = -1$ となります。

したがって、これらのベクトルは線形従属です。

$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ であるため、$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ は $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ の線形結合で表すことができます。

したがって、$L$ の基底は $\{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\}$ です。

問題2(2)：

$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0$ より、$x_1 = -2x_2 - 3x_3$ となります。

したがって、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2x_2 - 3x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

したがって、$L$ の基底は $\{\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\}$ です。

3. 最終的な答え

問題1：$L$ は $V = \mathbb{R}^3$ の部分空間である。

問題2：

(1) 基底： $\{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

(2) 基底： $\{\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\}$