この問題は、与えられた関数のグラフ上の点における接線の傾きと、その接線の方程式を求めるものです。具体的には、$y = 2x^2$ のグラフ上の点 $(2, 8)$ における接線と、$y = x^3 - x$ のグラフ上の点 $(-1, 0)$ における接線について考えます。それぞれの接線の傾きと、後者の接線の方程式を求める必要があります。

1. 問題の内容

この問題は、与えられた関数のグラフ上の点における接線の傾きと、その接線の方程式を求めるものです。具体的には、$y = 2x^2$ のグラフ上の点 $(2, 8)$ における接線と、$y = x^3 - x$ のグラフ上の点 $(-1, 0)$ における接線について考えます。それぞれの接線の傾きと、後者の接線の方程式を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^2$ について考えます。

$f(x) = 2x^2$ とおくと、$f'(x)$ は $f(x)$ の導関数です。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x$

したがって、①は $4$ です。

$x = 2$ のとき、$f'(2) = 4 \cdot 2 = 8$ となります。

したがって、②は $8$ です。

よって、$y = 2x^2$ のグラフ上の点 $(2,8)$ における接線の傾きは $8$ です。

次に、$y = x^3 - x$ について考えます。

$f(x) = x^3 - x$ とおくと、$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - x) = 3x^2 - 1$ です。

したがって、③は $3$ です。

$x = -1$ のとき、$f'(-1) = 3(-1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$ となります。

したがって、④は $2$ です。

よって、$y = x^3 - x$ のグラフ上の点 $(-1, 0)$ における接線の傾きは $2$ です。

接線の傾きが $2$ で、点 $(-1, 0)$ を通る直線の方程式を求めます。

$y = 2x + b$ とおきます。点 $(-1, 0)$ を通るので、

$0 = 2(-1) + b$

$0 = -2 + b$

$b = 2$

したがって、接線の方程式は $y = 2x + 2$ となります。

⑤は $2$ 、⑥は $2$ です。

3. 最終的な答え

①：4

②：8

③：3

④：2

⑤：2

⑥：2