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関数 $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ について以下の問題を解きます。 (1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求めます。 (2) $\lim_{x \to \pm \infty} \{f(x) - (ax + b)\} = 0$ となるような $a, b$ を求めます。 (3) $f(x)$ の増減、極値、凹凸、変曲点、漸近線を調べ、グラフを描きます。

解析学関数の微分極値増減凹凸漸近線グラフ
2025/6/17

1. 問題の内容

関数 f(x)=x3x2−4f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4} について以下の問題を解きます。
(1) f′(x)f'(x) と f′′(x)f''(x) を求めます。
(2) lim⁡x→±∞{f(x)−(ax+b)}=0\lim_{x \to \pm \infty} \{f(x) - (ax + b)\} = 0 となるような a,ba, b を求めます。
(3) f(x)f(x) の増減、極値、凹凸、変曲点、漸近線を調べ、グラフを描きます。

2. 解き方の手順

(1) f′(x)f'(x) と f′′(x)f''(x) を求める。
f(x)=x3x2−4f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}
商の微分公式を用いると、
f′(x)=(3x2)(x2−4)−x3(2x)(x2−4)2=3x4−12x2−2x4(x2−4)2=x4−12x2(x2−4)2f'(x) = \frac{(3x^2)(x^2 - 4) - x^3(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{3x^4 - 12x^2 - 2x^4}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^4 - 12x^2}{(x^2 - 4)^2}
f′(x)=x4−12x2(x2−4)2f'(x) = \frac{x^4 - 12x^2}{(x^2 - 4)^2}
f′′(x)=(4x3−24x)(x2−4)2−(x4−12x2)2(x2−4)(2x)(x2−4)4=(4x3−24x)(x2−4)−4x(x4−12x2)(x2−4)3f''(x) = \frac{(4x^3 - 24x)(x^2 - 4)^2 - (x^4 - 12x^2)2(x^2 - 4)(2x)}{(x^2 - 4)^4} = \frac{(4x^3 - 24x)(x^2 - 4) - 4x(x^4 - 12x^2)}{(x^2 - 4)^3}
f′′(x)=4x5−16x3−24x3+96x−4x5+48x3(x2−4)3=8x3+96x(x2−4)3=8x(x2+12)(x2−4)3f''(x) = \frac{4x^5 - 16x^3 - 24x^3 + 96x - 4x^5 + 48x^3}{(x^2 - 4)^3} = \frac{8x^3 + 96x}{(x^2 - 4)^3} = \frac{8x(x^2 + 12)}{(x^2 - 4)^3}
f′′(x)=8x(x2+12)(x2−4)3f''(x) = \frac{8x(x^2 + 12)}{(x^2 - 4)^3}
(2) lim⁡x→±∞{f(x)−(ax+b)}=0\lim_{x \to \pm \infty} \{f(x) - (ax + b)\} = 0 となるような a,ba, b を求める。
f(x)=x3x2−4=x3−4x+4xx2−4=x+4xx2−4f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4} = \frac{x^3 - 4x + 4x}{x^2 - 4} = x + \frac{4x}{x^2 - 4}
lim⁡x→±∞4xx2−4=lim⁡x→±∞4/x1−4/x2=0\lim_{x \to \pm \infty} \frac{4x}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{4/x}{1 - 4/x^2} = 0
したがって、lim⁡x→±∞{f(x)−x}=0\lim_{x \to \pm \infty} \{f(x) - x\} = 0
よって、a=1,b=0a = 1, b = 0
(3) f(x)f(x) の増減、極値、凹凸、変曲点、漸近線を調べ、グラフを描きます。
f′(x)=x2(x2−12)(x2−4)2f'(x) = \frac{x^2(x^2 - 12)}{(x^2 - 4)^2}
f′(x)=0f'(x) = 0 となるのは x=0,±23x = 0, \pm 2\sqrt{3}
f′′(x)=8x(x2+12)(x2−4)3f''(x) = \frac{8x(x^2 + 12)}{(x^2 - 4)^3}
f′′(x)=0f''(x) = 0 となるのは x=0x = 0
増減表
| x | -∞ | -2√3 | | -2 | | 0 | | 2 | | 2√3 | | ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - | 0 | + | + |
| f''(x) | - | - | - | - | + | 0 | - | - | + | + | + | + |
| f(x) | -∞ | -3√3 | ↓ | | | 0 | | | ↑ | 3√3 | ↑ | +∞ |
極大値: x=−23x = -2\sqrt{3} のとき、f(−23)=(−23)3(−23)2−4=−24312−4=−33f(-2\sqrt{3}) = \frac{(-2\sqrt{3})^3}{(-2\sqrt{3})^2 - 4} = \frac{-24\sqrt{3}}{12 - 4} = -3\sqrt{3}
極小値: x=23x = 2\sqrt{3} のとき、f(23)=(23)3(23)2−4=24312−4=33f(2\sqrt{3}) = \frac{(2\sqrt{3})^3}{(2\sqrt{3})^2 - 4} = \frac{24\sqrt{3}}{12 - 4} = 3\sqrt{3}
変曲点: x=0x = 0 のとき、f(0)=0f(0) = 0
漸近線: x=±2x = \pm 2 (垂直漸近線)、y=xy = x (斜め漸近線)

3. 最終的な答え

(1) f′(x)=x4−12x2(x2−4)2f'(x) = \frac{x^4 - 12x^2}{(x^2 - 4)^2}, f′′(x)=8x(x2+12)(x2−4)3f''(x) = \frac{8x(x^2 + 12)}{(x^2 - 4)^3}
(2) a=1,b=0a = 1, b = 0
(3) 極大値: x=−23x = -2\sqrt{3} で −33-3\sqrt{3}、極小値: x=23x = 2\sqrt{3} で 333\sqrt{3}、変曲点: (0,0)(0, 0)、漸近線: x=±2,y=xx = \pm 2, y = x
（グラフは省略します。）

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