白い玉4個と赤い玉3個が入った袋から同時に2個の玉を取り出す。 (1) 2個とも赤い玉である確率を求める。 (2) 白い玉と赤い玉が1個ずつである確率を求める。 (3) 少なくとも1個は白い玉である確率を求める。 (4) 8本のうち当たりが2本入っているくじを同時に2本引くとき、2本ともはずれを引く確率を求める。

1. 問題の内容

白い玉4個と赤い玉3個が入った袋から同時に2個の玉を取り出す。

(1) 2個とも赤い玉である確率を求める。

(2) 白い玉と赤い玉が1個ずつである確率を求める。

(3) 少なくとも1個は白い玉である確率を求める。

(4) 8本のうち当たりが2本入っているくじを同時に2本引くとき、2本ともはずれを引く確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2個とも赤い玉である確率

全体の取り出し方は $\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通り。

2個とも赤い玉である取り出し方は $\binom{3}{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

よって、確率は $\frac{3}{21} = \frac{1}{7}$

(2) 白い玉と赤い玉が1個ずつである確率

白い玉の取り出し方は $\binom{4}{1} = 4$ 通り。

赤い玉の取り出し方は $\binom{3}{1} = 3$ 通り。

よって、白い玉と赤い玉が1個ずつである取り出し方は $4 \times 3 = 12$ 通り。

確率は $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

(3) 少なくとも1個は白い玉である確率

少なくとも1個が白い玉である確率は、1 - (2個とも赤い玉である確率) で求められる。

1 - $\frac{1}{7} = \frac{6}{7}$

もしくは、白い玉2個、白い玉1個と赤い玉1個の場合を足し合わせる。

白い玉2個の場合は$\binom{4}{2} = 6$通り。

白い玉1個と赤い玉1個の場合は$\binom{4}{1} \binom{3}{1} = 4 \times 3 = 12$通り。

よって、確率は$\frac{6+12}{21} = \frac{18}{21} = \frac{6}{7}$

(4) 2本ともはずれを引く確率

8本のうち当たりが2本なので、はずれは6本。

全体の取り出し方は $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り。

2本ともはずれである取り出し方は $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

よって、確率は $\frac{15}{28}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{7}$

(2) $\frac{4}{7}$

(3) $\frac{6}{7}$

(4) $\frac{15}{28}$