(1) 大人6人と子供3人の合計9人が1列に並ぶときの確率に関する問題です。 * 先頭と最後尾が大人になる確率を求めます。 * 子供3人が全員隣り合う確率を求めます。 * 子供の前後が必ず大人になる確率を求めます。 (2) 袋の中に、白球1個、赤球2個、青球3個、黒球4個の合計10個の球が入っています。この中から3個の球を同時に取り出すときの確率に関する問題です。 * 取り出した球の色がすべて異なる確率を求めます。 * 取り出した球の色が2種類である確率を求めます。 * 白球は取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率を求めます。

1. 問題の内容

(1) 大人6人と子供3人の合計9人が1列に並ぶときの確率に関する問題です。

* 先頭と最後尾が大人になる確率を求めます。

* 子供3人が全員隣り合う確率を求めます。

* 子供の前後が必ず大人になる確率を求めます。

(2) 袋の中に、白球1個、赤球2個、青球3個、黒球4個の合計10個の球が入っています。この中から3個の球を同時に取り出すときの確率に関する問題です。

* 取り出した球の色がすべて異なる確率を求めます。

* 取り出した球の色が2種類である確率を求めます。

* 白球は取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

全体の場合の数は9人の並び方なので、9!です。

* 先頭と最後尾が大人になる確率

* 先頭の選び方は6通り。

* 最後尾の選び方は残りの大人5通り。

* 残りの7人の並び方は7!通り。

* よって、求める確率は $\frac{6 \times 5 \times 7!}{9!} = \frac{6 \times 5}{9 \times 8} = \frac{30}{72} = \frac{5}{12}$

* 子供3人が全員隣り合う確率

* 子供3人を1つのグループとみなすと、大人6人と合わせて7つのグループの並び方は7!通り。

* 子供3人の並び方は3!通り。

* よって、求める確率は $\frac{7! \times 3!}{9!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{9 \times 8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$

* 子供の前後が必ず大人になる確率

子供3人の並び方を考え、その前後に大人がいれば良い。

まず、大人と子供が交互に並ぶことはできない。

子供3人が隣り合う場合から考える。子供3人のグループの前後に大人を配置する方法はいくつかある。

計算が複雑になるので、別の考え方をする。

9人の並びで、子供3人の並び順を決める。

子供の並び方は3!通り。残りの6人は6!通り。

子供の前後に大人がいないといけないので、子供の前後には大人を配置する必要がある。

まず、子供の並び方を固定する。

3人の子供をまとめて1つのグループとして考えます。大人を○、子供のグループを●で表すと、並び方は

○●○●○●○、のような形になります。

子供のグループの前後には必ず大人がいるため、条件を満たしています。

大人の並び方は6!通り、子供の並び方は3!通りなので、並び方の総数は 6! * 3! = 720 * 6 = 4320

全体の並び方は9!通りなので、確率は 4320 / 362880 = 1 / 84

正しくは、子供3人の並び順を決める。6人の大人のうち4人を選び、子供３人の両端に配置する方法を考える必要がある。

(2)

全体の場合の数は ${}_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$通り

* 取り出した球の色がすべて異なる確率

* 白、赤、青の場合: $1 \times 2 \times 3 = 6$

* 白、赤、黒の場合: $1 \times 2 \times 4 = 8$

* 白、青、黒の場合: $1 \times 3 \times 4 = 12$

* 赤、青、黒の場合: $2 \times 3 \times 4 = 24$

* よって、求める確率は $\frac{6+8+12+24}{120} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12}$

* 取り出した球の色が2種類である確率

すべての色の組み合わせから、1種類と3種類の場合を除いたもの。

1種類の組み合わせはないので、3種類でない場合を計算すればよい。

${}_{10}C_3 - (1 \times 2 \times 3 + 1 \times 2 \times 4 + 1 \times 3 \times 4 + 2 \times 3 \times 4)$

色の選び方としては、

白と赤: ${}_1C_1 \times {}_2C_2 = 1$

白と青: ${}_1C_1 \times {}_3C_2 = 3$

白と黒: ${}_1C_1 \times {}_4C_2 = 6$

赤と青: ${}_2C_1 \times {}_3C_2 + {}_2C_2 \times {}_3C_1 = 6 + 3 = 9$

赤と黒: ${}_2C_1 \times {}_4C_2 + {}_2C_2 \times {}_4C_1 = 12 + 4 = 16$

青と黒: ${}_3C_1 \times {}_4C_2 + {}_3C_2 \times {}_4C_1 = 18 + 12 = 30$

合計: $1 + 3 + 6 + 9 + 16 + 30 = 65$

よって、確率は65/120 = 13/24

* 白球は取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率

白球を取り出さないので、赤、青、黒から3個選ぶ。

全体は、9個から3個を選ぶので、${}_9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$通り。

青球を少なくとも1個取り出すのは、青球を取り出さない場合を全体から引けばよい。

青球を取り出さないのは、赤と黒から3個選ぶので、${}_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

よって、青球を少なくとも1個取り出すのは、 $84 - 20 = 64$通り。

したがって、確率は $\frac{64}{84} = \frac{16}{21}$

3. 最終的な答え

(1)

* 先頭と最後尾が大人になる確率は$\frac{5}{12}$

* 子供3人が全員隣り合う確率は$\frac{1}{12}$

* 子供の前後が必ず大人になる確率は　(計算できませんでした)

(2)

* 取り出した球の色がすべて異なる確率は$\frac{5}{12}$

* 取り出した球の色が2種類である確率は$\frac{13}{24}$

* 白球は取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率は$\frac{16}{21}$