袋Aには1から50までの数字が書かれたカードが、袋Bには51から100までの数字が書かれたカードが入っている。袋Aと袋Bからそれぞれ1枚ずつカードを取り出すとき、以下の確率を求める問題です。 (1) 袋Aから取り出したカードが2桁の素数である確率、および2の倍数または3の倍数である確率 (2) 袋Bから取り出したカードが3の倍数でない確率 (3) 取り出した2枚のカードに書かれた数字がともに3の倍数である確率、および積が9の倍数である確率

1. 問題の内容

袋Aには1から50までの数字が書かれたカードが、袋Bには51から100までの数字が書かれたカードが入っている。袋Aと袋Bからそれぞれ1枚ずつカードを取り出すとき、以下の確率を求める問題です。

(1) 袋Aから取り出したカードが2桁の素数である確率、および2の倍数または3の倍数である確率

(2) 袋Bから取り出したカードが3の倍数でない確率

(3) 取り出した2枚のカードに書かれた数字がともに3の倍数である確率、および積が9の倍数である確率

2. 解き方の手順

(1)

袋Aには1から50までの数字のカードが入っています。

2桁の素数は、11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 の11個です。

したがって、確率は $11/50$ です。

2の倍数は25個、3の倍数は16個、6の倍数は8個です。

2の倍数または3の倍数である確率は、

$P(2の倍数 \cup 3の倍数) = P(2の倍数) + P(3の倍数) - P(6の倍数)$

$= 25/50 + 16/50 - 8/50 = 33/50$

(2)

袋Bには51から100までの数字のカードが入っています。

このうち、3の倍数は、51から99までで、(99-51)/3 + 1 = 17個です。

3の倍数でないカードの枚数は、50 - 17 = 33枚です。

したがって、確率は $33/50$ です。

(3)

袋Aに3の倍数は16個なので、袋Aから3の倍数のカードを取り出す確率は $16/50$ です。

袋Bに3の倍数は17個なので、袋Bから3の倍数のカードを取り出す確率は $17/50$ です。

両方とも3の倍数である確率は、

$16/50 \times 17/50 = 272/2500 = 68/625$

積が9の倍数となるのは、以下のいずれかの場合です。

- Aが9の倍数、Bが任意の数

- Bが9の倍数、Aが任意の数

- Aが3の倍数だが9の倍数でない、Bが3の倍数だが9の倍数でない

袋A: 9の倍数は5個、3の倍数だが9の倍数でないものは11個。

袋B: 9の倍数は6個、3の倍数だが9の倍数でないものは11個。

Aが9の倍数となる確率は5/50 = 1/10

Bが9の倍数となる確率は6/50 = 3/25

Aが3の倍数だが9の倍数でない確率は 11/50

Bが3の倍数だが9の倍数でない確率は 11/50

$P(積が9の倍数) = P(Aが9の倍数) + P(Bが9の倍数) - P(Aが9の倍数) \times P(Bが9の倍数) + P(Aが3の倍数だが9の倍数でない) \times P(Bが3の倍数だが9の倍数でない)$

$= 1/10 + 3/25 - 1/10 * 3/25 + 11/50 * 11/50$

$= 5/50 + 6/50 - 3/250 + 121/2500 = 11/50 - 3/250 + 121/2500$

$= 550/2500 - 30/2500 + 121/2500 = (550-30+121)/2500 = 641/2500$

3. 最終的な答え

(1) 2桁の素数である確率は 11/50

2の倍数または3の倍数である確率は 33/50

(2) 3の倍数でない確率は 33/50

(3) ともに3の倍数である確率は 68/625

積が9の倍数である確率は 641/2500