大人5人、子供4人の中から3人を選ぶ時、以下の2つの場合の選び方は何通りあるか求めよ。 (1) 選んだ3人全員が大人である。 (2) 選んだ3人に大人も子供も含まれる。

1. 問題の内容

大人5人、子供4人の中から3人を選ぶ時、以下の2つの場合の選び方は何通りあるか求めよ。

(1) 選んだ3人全員が大人である。

(2) 選んだ3人に大人も子供も含まれる。

2. 解き方の手順

(1) 3人全員が大人である場合:

5人の大人から3人を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を用いて計算する。

組み合わせの公式は $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で表される。

この問題では、n=5, r=3 なので、

$5C3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

(2) 3人に大人も子供も含まれる場合:

3人の選び方全体の数から、3人全員が子供の場合を除けば良い。

まず、3人の選び方全体の数を計算する。

大人5人、子供4人なので、合計9人の中から3人を選ぶことになる。

$9C3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{3 \times 2 \times 1 \times 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

次に、3人全員が子供の場合の数を計算する。

4人の子供から3人を選ぶ組み合わせなので、

$4C3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 4$

よって、3人に大人も子供も含まれる選び方は、全体の選び方から3人全員が子供の場合を除いたものなので、

$84 - 4 = 80$

3. 最終的な答え

(1) 3人全員が大人である選び方は10通り。

(2) 3人に大人も子供も含まれる選び方は80通り。