ある製品が不良品である確率は3%である。品質検査では、不良品なのに誤って不良品ではないと判定される確率が1%、不良品ではないのに誤って不良品と判定される確率が10%である。このとき、製品が品質検査で不良品と判定される確率と、不良品と判定された製品が実際には不良品ではない確率を求める。

1. 問題の内容

ある製品が不良品である確率は3%である。品質検査では、不良品なのに誤って不良品ではないと判定される確率が1%、不良品ではないのに誤って不良品と判定される確率が10%である。このとき、製品が品質検査で不良品と判定される確率と、不良品と判定された製品が実際には不良品ではない確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 品質検査で不良品と判定される確率を求める。

不良品である確率を $P(A)$、不良品でない確率を $P(A^c)$ とする。

品質検査で不良品と判定される事象を $B$、不良品と判定されない事象を $B^c$ とする。

$P(A) = 0.03$

$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.03 = 0.97$

不良品なのに誤って不良品ではないと判定される確率は $P(B^c|A) = 0.01$ であるので、不良品が正しく不良品と判定される確率は $P(B|A) = 1 - P(B^c|A) = 1 - 0.01 = 0.99$ である。

不良品ではないのに誤って不良品と判定される確率は $P(B|A^c) = 0.10$ である。

求めるのは、製品が品質検査で不良品と判定される確率 $P(B)$ である。これは、不良品が不良品と判定される確率と、不良品でないものが不良品と判定される確率の和で求められる。

$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c)$

$P(B) = (0.99)(0.03) + (0.10)(0.97) = 0.0297 + 0.097 = 0.1267$

したがって、製品が品質検査で不良品と判定される確率は0.1267である。

(2) 不良品と判定された製品が実際には不良品ではない確率を求める。

不良品と判定された製品が実際には不良品ではない確率、すなわち、$P(A^c|B)$ を求める。ベイズの定理を用いると、

$P(A^c|B) = \frac{P(B|A^c)P(A^c)}{P(B)}$

$P(A^c|B) = \frac{(0.10)(0.97)}{0.1267} = \frac{0.097}{0.1267} \approx 0.7656$

したがって、不良品と判定された製品が実際には不良品ではない確率は約0.7656である。

3. 最終的な答え

製品が品質検査で不良品と判定される確率は 0.1267 である。

不良品と判定された製品が実際には不良品ではない確率は約 0.7656 である。