以下の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n\to\infty} (\frac{n}{n^2+1^2} + \frac{n}{n^2+2^2} + \frac{n}{n^2+3^2} + \cdots + \frac{n}{n^2+n^2})$ (2) $\lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n \cos^2{\frac{k\pi}{6n}}$ (3) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k e^{\frac{k}{2n}}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n\to\infty} (\frac{n}{n^2+1^2} + \frac{n}{n^2+2^2} + \frac{n}{n^2+3^2} + \cdots + \frac{n}{n^2+n^2})$

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n \cos^2{\frac{k\pi}{6n}}$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k e^{\frac{k}{2n}}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{n\to\infty} (\frac{n}{n^2+1^2} + \frac{n}{n^2+2^2} + \frac{n}{n^2+3^2} + \cdots + \frac{n}{n^2+n^2})$

$=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}$

$=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2}$

これはリーマン和の形をしているので、積分で表すことができます。

$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan x]_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

(2)

$\lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n \cos^2{\frac{k\pi}{6n}}$

$=\pi \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos^2{\frac{k\pi}{6n}}$

これもリーマン和の形をしているので、積分で表すことができます。

$\pi \int_0^1 \cos^2{\frac{\pi x}{6}} dx$

$\cos^2{\theta} = \frac{1 + \cos{2\theta}}{2}$ より

$\pi \int_0^1 \frac{1 + \cos{\frac{\pi x}{3}}}{2} dx$

$=\frac{\pi}{2} \int_0^1 (1 + \cos{\frac{\pi x}{3}}) dx$

$=\frac{\pi}{2} [x + \frac{3}{\pi} \sin{\frac{\pi x}{3}}]_0^1$

$=\frac{\pi}{2} [(1 + \frac{3}{\pi} \sin{\frac{\pi}{3}}) - (0 + \frac{3}{\pi} \sin{0})]$

$=\frac{\pi}{2} [1 + \frac{3}{\pi} \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4}$

(3)

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k e^{\frac{k}{2n}}$

$=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} e^{\frac{k}{2n}}$

これもリーマン和の形をしているので、積分で表すことができます。

$\int_0^1 x e^{\frac{x}{2}} dx$

部分積分法を使う。$u = x, dv = e^{\frac{x}{2}} dx$ とすると $du = dx, v = 2e^{\frac{x}{2}}$

$[2xe^{\frac{x}{2}}]_0^1 - \int_0^1 2e^{\frac{x}{2}} dx$

$= 2e^{\frac{1}{2}} - [4e^{\frac{x}{2}}]_0^1$

$= 2e^{\frac{1}{2}} - (4e^{\frac{1}{2}} - 4e^0) = 2e^{\frac{1}{2}} - 4e^{\frac{1}{2}} + 4 = 4 - 2\sqrt{e}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{4}$

(2) $\frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4}$

(3) $4 - 2\sqrt{e}$