5個の数字1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作る。次の問いに答えよ。 (1) 5の倍数は何個作れるか。 (2) 偶数は何個作れるか。 (3) 奇数は何個作れるか。

1. 問題の内容

5個の数字1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3個を選んで並べ、3桁の整数を作る。次の問いに答えよ。

(1) 5の倍数は何個作れるか。

(2) 偶数は何個作れるか。

(3) 奇数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 5の倍数

3桁の整数が5の倍数になるためには、一の位が5でなければならない。

一の位が5の場合、百の位と十の位は残りの4個の数字から2個を選んで並べることになる。

よって、5の倍数の個数は、順列を用いて $P(4,2)$ で求められる。

$P(4,2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$

(2) 偶数

3桁の整数が偶数になるためには、一の位が偶数でなければならない。

この場合、一の位は2または4のいずれかである。

(i) 一の位が2の場合

百の位は残りの4個の数字から1つを選び、十の位はさらに残りの3個の数字から1つを選ぶことになる。

よって、百の位と十の位の選び方は、$4 \times 3 = 12$ 通り。

(ii) 一の位が4の場合

百の位は残りの4個の数字から1つを選び、十の位はさらに残りの3個の数字から1つを選ぶことになる。

よって、百の位と十の位の選び方は、$4 \times 3 = 12$ 通り。

したがって、偶数の個数は、$12 + 12 = 24$ 個。

(3) 奇数

3桁の整数が奇数になるためには、一の位が奇数でなければならない。

この場合、一の位は1, 3, 5のいずれかである。

(i) 一の位が1の場合

百の位は残りの4個の数字から1つを選び、十の位はさらに残りの3個の数字から1つを選ぶことになる。

よって、百の位と十の位の選び方は、$4 \times 3 = 12$ 通り。

(ii) 一の位が3の場合

百の位は残りの4個の数字から1つを選び、十の位はさらに残りの3個の数字から1つを選ぶことになる。

よって、百の位と十の位の選び方は、$4 \times 3 = 12$ 通り。

(iii) 一の位が5の場合

百の位は残りの4個の数字から1つを選び、十の位はさらに残りの3個の数字から1つを選ぶことになる。

よって、百の位と十の位の選び方は、$4 \times 3 = 12$ 通り。

したがって、奇数の個数は、$12 + 12 + 12 = 36$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 5の倍数: 12個

(2) 偶数: 24個

(3) 奇数: 36個