実数 $k$ を変数とする関数 $f(x) = 2x^2 - kx + k + 1$ が与えられている。 $x \ge 0$ における $f(x)$ の最小値を表す関数を $m(k)$ とする。 $-11 \le k \le 14$ であるとき、$m(k)$ の最大値と最小値の和を求める。

1. 問題の内容

実数 $k$ を変数とする関数 $f(x) = 2x^2 - kx + k + 1$ が与えられている。 $x \ge 0$ における $f(x)$ の最小値を表す関数を $m(k)$ とする。 $-11 \le k \le 14$ であるとき、$m(k)$ の最大値と最小値の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = 2(x^2 - \frac{k}{2}x) + k + 1 = 2(x - \frac{k}{4})^2 - 2(\frac{k}{4})^2 + k + 1 = 2(x - \frac{k}{4})^2 - \frac{k^2}{8} + k + 1$

軸は $x = \frac{k}{4}$ である。

(i) $\frac{k}{4} \le 0$ すなわち $k \le 0$ のとき、$x \ge 0$ における最小値は $f(0) = k + 1$ である。

(ii) $\frac{k}{4} > 0$ すなわち $k > 0$ のとき、$x \ge 0$ における最小値は $f(\frac{k}{4}) = -\frac{k^2}{8} + k + 1$ である。

したがって、$m(k)$ は次のように表される。

$m(k) = \begin{cases} k + 1 & (k \le 0) \\ -\frac{k^2}{8} + k + 1 & (k > 0) \end{cases}$

$-11 \le k \le 14$ における $m(k)$ の最大値と最小値を求める。

$k \le 0$ のとき、$m(k) = k + 1$ は $k$ について単調増加である。したがって、$k = 0$ で最大値 $1$ をとり、$k = -11$ で最小値 $-10$ をとる。

$k > 0$ のとき、$m(k) = -\frac{k^2}{8} + k + 1 = -\frac{1}{8}(k^2 - 8k) + 1 = -\frac{1}{8}(k^2 - 8k + 16) + \frac{16}{8} + 1 = -\frac{1}{8}(k - 4)^2 + 2 + 1 = -\frac{1}{8}(k - 4)^2 + 3$

これは上に凸の放物線であり、軸は $k = 4$ である。

$m(4) = 3$

$m(14) = -\frac{1}{8}(14 - 4)^2 + 3 = -\frac{100}{8} + 3 = -\frac{25}{2} + 3 = -\frac{19}{2} = -9.5$

したがって、$0 < k \le 14$ における $m(k)$ の最大値は $3$ であり、最小値は $-\frac{19}{2}$ である。

$-11 \le k \le 0$ における $m(k)$ の最大値は $1$ であり、最小値は $-10$ である。

したがって、$-11 \le k \le 14$ における $m(k)$ の最大値は $3$ であり、最小値は $-10$ である。

$m(k)$ の最大値と最小値の和は $3 + (-10) = -7$ である。

3. 最終的な答え

-7