$a$ は正の定数とします。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とします。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2x) + 1$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -(x-1)^2 + 1 + 1$

$y = -(x-1)^2 + 2$

したがって、この関数は $x=1$ のとき最大値 $2$ を取ります。

軸は $x = 1$ であり、上に凸の放物線です。

定義域は $0 \le x \le a$ です。

場合分けをして考えます。

(i) $0 < a < 1$ のとき：

$x=a$ で最大値をとります。最大値は $-a^2+2a+1$ です。

(ii) $a = 1$ のとき：

$x=1$ で最大値をとります。最大値は $2$ です。

このとき、$x=0$ でも、$y=-0^2 + 2(0) + 1 = 1 < 2$ です。

(iii) $a > 1$ のとき：

軸 $x=1$ が定義域に含まれるので、$x=1$ で最大値 $2$ を取ります。

まとめる。

(i) $0 < a < 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

(ii) $a \ge 1$ のとき、最大値は $2$

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$ のとき、最大値 $-a^2 + 2a + 1$

$a \ge 1$ のとき、最大値 $2$