次の方程式を解きます。 (1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ (2) $x^4 + 5x^2 - 36 = 0$

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

(1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

(2) $x^4 + 5x^2 - 36 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

まず、因数定理を用いて、この式の因数を見つけます。

$x=1$ を代入すると、$1 - 6 + 11 - 6 = 0$ となるので、$x-1$ はこの式の因数です。

次に、多項式を $x-1$ で割ります。

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2 - 5x + 6)$

$x^2 - 5x + 6$ を因数分解すると、$(x-2)(x-3)$ となります。

したがって、$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3) = 0$

よって、$x = 1, 2, 3$

(2) $x^4 + 5x^2 - 36 = 0$

$x^2 = y$ とおくと、$y^2 + 5y - 36 = 0$

この二次方程式を解きます。

$(y+9)(y-4) = 0$

よって、$y = -9, 4$

$x^2 = -9$ のとき、$x = \pm 3i$

$x^2 = 4$ のとき、$x = \pm 2$

したがって、$x = \pm 2, \pm 3i$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, 2, 3$

(2) $x = \pm 2, \pm 3i$