与えられた複素関数 $f(z) = \frac{y + ix}{x^2 + y^2}$ を、$z = x + iy$ を用いて表す問題です。ただし、$ (x, y) \neq (0, 0)$とします。

1. 問題の内容

与えられた複素関数 $f(z) = \frac{y + ix}{x^2 + y^2}$ を、$z = x + iy$ を用いて表す問題です。ただし、$(x, y) \neq (0, 0)$とします。

2. 解き方の手順

まず、$z = x + iy$ より、$x = \frac{z + \bar{z}}{2}$、$y = \frac{z - \bar{z}}{2i}$ と表されます。したがって、$x^2+y^2 = z\bar{z}$となります。

$f(z) = \frac{y + ix}{x^2 + y^2}$ の分子に $x = \frac{z + \bar{z}}{2}$、$y = \frac{z - \bar{z}}{2i}$ を代入すると、

$y + ix = \frac{z - \bar{z}}{2i} + i \frac{z + \bar{z}}{2} = \frac{z - \bar{z}}{2i} + \frac{i(z + \bar{z})}{2} = \frac{z - \bar{z} + i^2(z + \bar{z})}{2i} = \frac{z - \bar{z} - (z + \bar{z})}{2i} = \frac{-2\bar{z}}{2i} = \frac{-\bar{z}}{i} = i\bar{z}$

したがって、$f(z) = \frac{i\bar{z}}{x^2 + y^2} = \frac{i\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{i}{z}$ となります。

3. 最終的な答え

$f(z) = \frac{i}{z}$