関数 $f(x)$ が次のように定義されている。 $ f(x) = \begin{cases} \sin(x^2) \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases} $ (1) $f(x)$ が $x=0$ で連続であることを示す。 (2) 微分係数の定義に従って $f'(0)$ を計算することで、$f(x)$ が $x=0$ で微分可能であることを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次のように定義されている。

$$

f(x) = \begin{cases}

\sin(x^2) \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\

0 & (x = 0)

\end{cases}

$$

(1) $f(x)$ が $x=0$ で連続であることを示す。

(2) 微分係数の定義に従って $f'(0)$ を計算することで、$f(x)$ が $x=0$ で微分可能であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ必要がある。$f(0) = 0$ であるから、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ であることを示せばよい。

$|\sin(\frac{1}{x})| \leq 1$ であることと、$\lim_{x \to 0} \sin(x^2) = \sin(0) = 0$ であることから、

$$

|\sin(x^2) \sin(\frac{1}{x})| \leq |\sin(x^2)|

$$

が成り立つ。

$\lim_{x \to 0} |\sin(x^2)| = 0$ であるから、挟み撃ちの原理より、

$$

\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \sin(x^2) \sin(\frac{1}{x}) = 0

$$

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で連続である。

(2) 微分係数の定義より、

$$

f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h^2) \sin(\frac{1}{h})}{h}

$$

となる。

$\sin(h^2) \approx h^2$ (hが十分に小さいとき)なので、

$$

f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h^2) \sin(\frac{1}{h})}{h}

$$

$$

= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h^2)}{h} \sin(\frac{1}{h})

$$

$$

= \lim_{h \to 0} h \frac{\sin(h^2)}{h^2} \sin(\frac{1}{h})

$$

$$

\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h^2)}{h^2} = 1 $である。

$|\sin(\frac{1}{h})| \leq 1$ である。

したがって、

$$

|h \frac{\sin(h^2)}{h^2} \sin(\frac{1}{h})| \leq |h|

$$

$\lim_{h \to 0} |h| = 0$ であるから、挟み撃ちの原理より、

$$

\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h^2) \sin(\frac{1}{h})}{h} = 0

$$

したがって、$f'(0) = 0$ となり、$f(x)$ は $x=0$ で微分可能である。

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ は $x=0$ で連続である。

(2) $f'(0) = 0$ であり、$f(x)$ は $x=0$ で微分可能である。