(1) 関数 $f(x, y) = (x + y)e^{x^2 + y}$ の偏導関数 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を求める。 (2) 関数 $f(x, y) = \sqrt{x^2y^2 + 2x + y^3}$ の点 $(1, 1, f(1, 1))$ における接平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x, y) = (x + y)e^{x^2 + y}$ の偏導関数 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を求める。

(2) 関数 $f(x, y) = \sqrt{x^2y^2 + 2x + y^3}$ の点 $(1, 1, f(1, 1))$ における接平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f_x(x, y)$ を求める:

$f(x, y) = (x + y)e^{x^2 + y}$ を $x$ で偏微分する。積の微分法則を用いる。

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} ((x + y)e^{x^2 + y}) = \frac{\partial}{\partial x} (x+y) \cdot e^{x^2 + y} + (x+y) \cdot \frac{\partial}{\partial x} e^{x^2 + y}$

$= 1 \cdot e^{x^2 + y} + (x+y) \cdot (2x) e^{x^2 + y} = e^{x^2 + y} + 2x(x+y) e^{x^2 + y} = (1 + 2x(x+y)) e^{x^2 + y} = (2x^2 + 2xy + 1)e^{x^2 + y}$.

$f_y(x, y)$ を求める:

$f(x, y) = (x + y)e^{x^2 + y}$ を $y$ で偏微分する。積の微分法則を用いる。

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} ((x + y)e^{x^2 + y}) = \frac{\partial}{\partial y} (x+y) \cdot e^{x^2 + y} + (x+y) \cdot \frac{\partial}{\partial y} e^{x^2 + y}$

$= 1 \cdot e^{x^2 + y} + (x+y) \cdot (1) e^{x^2 + y} = e^{x^2 + y} + (x+y) e^{x^2 + y} = (x+y+1) e^{x^2 + y}$.

(2)

$f(x, y) = \sqrt{x^2y^2 + 2x + y^3}$ とする。

まず $f(1, 1)$ を求める。

$f(1, 1) = \sqrt{1^2 \cdot 1^2 + 2(1) + 1^3} = \sqrt{1 + 2 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

点 $(1, 1, 2)$ における接平面を求める。

$f_x(x, y) = \frac{1}{2\sqrt{x^2y^2 + 2x + y^3}} (2xy^2 + 2) = \frac{xy^2 + 1}{\sqrt{x^2y^2 + 2x + y^3}}$

$f_y(x, y) = \frac{1}{2\sqrt{x^2y^2 + 2x + y^3}} (2x^2y + 3y^2) = \frac{x^2y + \frac{3}{2}y^2}{\sqrt{x^2y^2 + 2x + y^3}}$

$f_x(1, 1) = \frac{1 \cdot 1^2 + 1}{\sqrt{1^2 \cdot 1^2 + 2(1) + 1^3}} = \frac{2}{\sqrt{4}} = \frac{2}{2} = 1$.

$f_y(1, 1) = \frac{1^2 \cdot 1 + \frac{3}{2}(1^2)}{\sqrt{1^2 \cdot 1^2 + 2(1) + 1^3}} = \frac{1 + \frac{3}{2}}{\sqrt{4}} = \frac{\frac{5}{2}}{2} = \frac{5}{4}$.

接平面の方程式は $z - f(1, 1) = f_x(1, 1) (x-1) + f_y(1, 1) (y-1)$.

$z - 2 = 1(x-1) + \frac{5}{4}(y-1)$

$z - 2 = x - 1 + \frac{5}{4}y - \frac{5}{4}$

$z = x + \frac{5}{4}y - 1 - \frac{5}{4} + 2 = x + \frac{5}{4}y + \frac{4 - 5 + 8}{4} = x + \frac{5}{4}y + \frac{7}{4}$.

3. 最終的な答え

$f_x(x, y) = (2x^2 + 2xy + 1)e^{x^2 + y}$

$f_y(x, y) = (x+y+1)e^{x^2 + y}$

$z = x + \frac{5}{4}y + \frac{7}{4}$

したがって、

(5) $2x^2 + 2xy + 1$

(6) $x+y+1$

(7) $1$

(8) $\frac{5}{4}$

(9) $\frac{7}{4}$