次の不等式が成り立つことを示す問題です。 $\frac{1}{2} \leq \int_0^1 \frac{1}{x^2 + x + 1} dx \leq \log 2$

1. 問題の内容

次の不等式が成り立つことを示す問題です。

$\frac{1}{2} \leq \int_0^1 \frac{1}{x^2 + x + 1} dx \leq \log 2$

2. 解き方の手順

まず、$x^2+x+1$ の範囲を考えます。区間 $[0, 1]$ において、$x^2 + x + 1$ は増加関数です。

$x=0$ のとき、$x^2 + x + 1 = 1$

$x=1$ のとき、$x^2 + x + 1 = 3$

したがって、区間 $[0, 1]$ において、$1 \leq x^2 + x + 1 \leq 3$ が成り立ちます。

これより、不等式

$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{x^2 + x + 1} \leq 1$

が成り立ちます。

この不等式を区間 $[0, 1]$ で積分すると、

$\int_0^1 \frac{1}{3} dx \leq \int_0^1 \frac{1}{x^2 + x + 1} dx \leq \int_0^1 1 dx$

$\frac{1}{3} \leq \int_0^1 \frac{1}{x^2 + x + 1} dx \leq 1$

これだけでは$\frac{1}{2} \leq \int_0^1 \frac{1}{x^2 + x + 1} dx \leq \log 2$を示すことはできません。

$\frac{1}{x^2 + x + 1}$を積分します。$x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)^2 + 1$。

したがって、

$\int \frac{1}{x^2 + x + 1} dx = \int \frac{1}{\frac{3}{4} \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)^2 + 1} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})^2 + 1} \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}}dx$

ここで、$u = \frac{2x + 1}{\sqrt{3}}$ とおくと、$du = \frac{2}{\sqrt{3}} dx$ であるから、

$\int \frac{1}{x^2 + x + 1} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{u^2 + 1} \frac{\sqrt{3}}{2}du = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan u + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C$

よって、

$\int_0^1 \frac{1}{x^2 + x + 1} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \left[ \arctan \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} \right) \right]_0^1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \arctan(\sqrt{3}) - \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \right) = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

$\pi \approx 3.14$ より、$\frac{\pi}{3 \sqrt{3}} \approx \frac{3.14}{3 \times 1.732} \approx \frac{3.14}{5.196} \approx 0.604$

$\frac{1}{2} = 0.5$であり、$\log 2 \approx 0.693$であるから、

$\frac{1}{2} \leq \int_0^1 \frac{1}{x^2 + x + 1} dx \leq \log 2$

は成り立つ。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \leq \int_0^1 \frac{1}{x^2 + x + 1} dx \leq \log 2$

が成り立つ。