方眼紙に自然数を図のように順序良く並べていくとき、丸印（○）の箇所に入る数はいくつか、という問題です。

1. 問題の内容

方眼紙に自然数を図のように順序良く並べていくとき、丸印（○）の箇所に入る数はいくつか、という問題です。

2. 解き方の手順

まず、自然数の並び方を確認します。

1から始まり、左上から右下へ、斜めに数が並んでいます。

1段目：1, 3, 4, 10, 11, 21, 22, ...

2段目：2, 5, 9, 12, 20, 23, ...

3段目：6, 8, 13, 19, ...

4段目：7, 14, 18, ...

丸印（○）は図の一番右下にあるので、数値を順に計算しなくても、規則性からある程度推測が可能です。

丸印の位置する座標を(x, y)とします。このとき、x, yはともに正の整数であり、左上隅のマスを(1, 1)とします。

画像のマス目の並びから、丸印は(6, 6)に位置していると読み取れます。

各斜めのラインにおいて、数字の差を見てみます。

1 = 1

2 = 2

6 = 1 + 2 + 3

7 = 1+2+4

15 = 1+2+3+4+5

16 = 1+2+3+4+6

つまり、座標(x,y)に位置する数は、1からx+y-2までの和に、xを加えた数になります。

この和の公式は、$\frac{(x+y-2)(x+y-1)}{2}$で求められます。

よって、座標(x,y)に位置する数は、$\frac{(x+y-2)(x+y-1)}{2} + x$となります。

今回はx=6, y=6なので、$\frac{(6+6-2)(6+6-1)}{2} + 6 = \frac{10 \cdot 11}{2} + 6 = 55 + 6 = 61$となります。

これは問題文の選択肢にありません。画像の数値が読み取りにくいので、他の考え方をします。

斜めラインに注目すると、

1, 2, 6, 7, 15, 16, ...

この数列の差を取ると

1, 4, 1, 8, 1

となり、規則性が見出せません。

マス目に入る数字は、座標(x, y)について、$x+y$が同じであるものは、同じ斜めのライン上に並びます。

その中でも、数字は、xが1増加すると、１増加します。また、yが1増加すると、前の斜めラインの最終値と今のxの値の合計分だけ増加します。

ということは、大雑把なあたりをつけて、修正するという戦略も考えられます。

画像にある数字から推測すると、5行目の最後の数は61,62あたりになると考えられます。6行目の最初の数字は46, 47なので、ここから推定します。6行目の6番目の数は、少なくとも50以上であると考えられます。

丸印は、数字が詰まっているあたりにあるので、数値は大きくなさそうです。選択肢にある数値のうち、小さい方から検討すると、197~201のどれかが正しそうです。

197が入る場所について検討すると、画像のマス目からすると、もっと下のほうになりそうです。

同様に、198, 199についても該当しそうにありません。200も少し大きいように見えます。

したがって、201が入ると推測します。

3. 最終的な答え

5. 201