水平面となす角が30°のなめらかな斜面上に球がある。斜面全体を鉛直方向に加速度0.6gで引き上げたとき、球が点Aから9.8m滑り落ちるのに要する時間を求める問題。重力加速度の大きさは$g = 9.8 m/s^2$、$\sqrt{2}=1.41$、$\sqrt{5}=2.23$とする。

1. 問題の内容

水平面となす角が30°のなめらかな斜面上に球がある。斜面全体を鉛直方向に加速度0.6gで引き上げたとき、球が点Aから9.8m滑り落ちるのに要する時間を求める問題。重力加速度の大きさは$g = 9.8 m/s^2$、$\sqrt{2}=1.41$、$\sqrt{5}=2.23$とする。

2. 解き方の手順

まず、斜面を鉛直上向きに加速度$0.6g$で引き上げる際の、球から見た有効な重力加速度を考える。

鉛直下向きに$g$の重力加速度がかかっていることに加えて、斜面を上向きに引き上げることで、下向きに$0.6g$の慣性力が働く。

よって、球から見た有効な重力加速度は$g + 0.6g = 1.6g$となる。

次に、この有効な重力加速度の斜面方向成分を求める。

$1.6g \sin{30^\circ} = 1.6g \times \frac{1}{2} = 0.8g$

この斜面方向成分が、球が斜面を滑り落ちる際の加速度$a$となる。

$a = 0.8g = 0.8 \times 9.8 = 7.84 m/s^2$

初期速度が0で、距離$9.8m$を加速度$a$で滑り落ちる時間を$t$とすると、以下の式が成り立つ。

$9.8 = \frac{1}{2}at^2$

$t^2 = \frac{2 \times 9.8}{a} = \frac{2 \times 9.8}{0.8 \times 9.8} = \frac{2}{0.8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5$

$t = \sqrt{2.5} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2} \approx \frac{3.16}{2}$

$\sqrt{10}$の値が与えられていないため、$\sqrt{2}$と$\sqrt{5}$を使って近似する必要がある。

$t = \sqrt{2.5} = \sqrt{\frac{5}{2}} \approx \sqrt{\frac{2.23^{2}}{1.41^{2}}} \approx 1.58$ となる。

加速度を計算したときに$7.84 m/s^2$ と出ているので、

$t^2 = \frac{2*9.8}{7.84} = 2.5$

$t = \sqrt{2.5} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \approx \frac{\sqrt{9.8}}{2} \approx \frac{\sqrt{4.9*2}}{2} = \frac{2.21*1.41}{2} \approx 1.56$

$t = \sqrt{2.5} \approx 1.58$

3. 最終的な答え

1.6 s