点$(x, y, z)$の位置ベクトルを表すベクトル場 $\mathbf{r}$ について、以下の2つのことを証明します。 (1) $|\mathbf{r}|$ の勾配が $\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$ であること。 (2) $\mathbf{r}$ の回転が $\mathbf{0}$ であること。

1. 問題の内容

点$(x, y, z)$の位置ベクトルを表すベクトル場 $\mathbf{r}$ について、以下の2つのことを証明します。

(1) $|\mathbf{r}|$ の勾配が $\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$ であること。

(2) $\mathbf{r}$ の回転が $\mathbf{0}$ であること。

2. 解き方の手順

(1) $|\mathbf{r}|$ の勾配を求めます。

$\mathbf{r} = (x, y, z)$ であるので、 $|\mathbf{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ です。

$|\mathbf{r}|$ の勾配は、

$\nabla |\mathbf{r}| = \left( \frac{\partial}{\partial x} |\mathbf{r}|, \frac{\partial}{\partial y} |\mathbf{r}|, \frac{\partial}{\partial z} |\mathbf{r}| \right)$

と計算できます。

それぞれの偏微分を計算すると、

$\frac{\partial}{\partial x} |\mathbf{r}| = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{|\mathbf{r}|}$

$\frac{\partial}{\partial y} |\mathbf{r}| = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{y}{|\mathbf{r}|}$

$\frac{\partial}{\partial z} |\mathbf{r}| = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{z}{|\mathbf{r}|}$

したがって、

$\nabla |\mathbf{r}| = \left( \frac{x}{|\mathbf{r}|}, \frac{y}{|\mathbf{r}|}, \frac{z}{|\mathbf{r}|} \right) = \frac{1}{|\mathbf{r}|} (x, y, z) = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$

これで (1) は証明できました。

(2) $\mathbf{r}$ の回転を求めます。

$\mathbf{r} = (x, y, z)$ であるので、$\mathbf{r}$ の回転は、

$\nabla \times \mathbf{r} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x & y & z \end{array} \right|$

$= \left( \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z}, \frac{\partial x}{\partial z} - \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} \right)$

$= (0 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (0, 0, 0) = \mathbf{0}$

これで (2) は証明できました。

3. 最終的な答え

(1) $|\mathbf{r}|$ の勾配は $\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$ である。

(2) $\mathbf{r}$ の回転は $\mathbf{0}$ である。