2次元または3次元空間における質点の運動について、以下の問いに答える。 (a) 運動エネルギー $K = \frac{1}{2}mv^2$ の時間微分 $\frac{dK}{dt}$ を、質点に働く力 $F$ と速度 $v$ を用いて表す。 (b) 線積分による仕事 $W = \int_C F \cdot dr$ を用いて、運動エネルギーの変化が質点の受けた仕事に等しいこと $(\Delta K = W)$ を示す。 (c) 力 $F(r) = -\nabla U = -(\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z})$ となるポテンシャルエネルギー $U$ が存在するとき、全エネルギー $E = K + U$ が時間的に変化しないこと $E(t) = E(0)$ を示す。

1. 問題の内容

2次元または3次元空間における質点の運動について、以下の問いに答える。

(a) 運動エネルギー $K = \frac{1}{2}mv^2$ の時間微分 $\frac{dK}{dt}$ を、質点に働く力 $F$ と速度 $v$ を用いて表す。

(b) 線積分による仕事 $W = \int_C F \cdot dr$ を用いて、運動エネルギーの変化が質点の受けた仕事に等しいこと $(\Delta K = W)$ を示す。

(c) 力 $F(r) = -\nabla U = -(\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z})$ となるポテンシャルエネルギー $U$ が存在するとき、全エネルギー $E = K + U$ が時間的に変化しないこと $E(t) = E(0)$ を示す。

2. 解き方の手順

(a) 運動エネルギーの時間微分を求める。

$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(v \cdot v)$

$\frac{dK}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{2}m \frac{d}{dt}(v \cdot v) = \frac{1}{2}m ( \frac{dv}{dt} \cdot v + v \cdot \frac{dv}{dt})$

$\frac{dK}{dt} = m v \cdot \frac{dv}{dt}$

ニュートンの運動方程式 $F = ma = m\frac{dv}{dt}$ を用いると、

$\frac{dK}{dt} = v \cdot F = F \cdot v$

(b) 仕事と運動エネルギーの変化の関係を示す。

$W = \int_C F \cdot dr = \int_{t_1}^{t_2} F \cdot \frac{dr}{dt} dt = \int_{t_1}^{t_2} F \cdot v dt$

(a)の結果より、$F \cdot v = \frac{dK}{dt}$ なので、

$W = \int_{t_1}^{t_2} \frac{dK}{dt} dt = K(t_2) - K(t_1) = \Delta K$

したがって、$W = \Delta K$ が示された。

(c) 全エネルギーが時間的に変化しないことを示す。

$E = K + U$

$\frac{dE}{dt} = \frac{dK}{dt} + \frac{dU}{dt}$

ここで、$\frac{dU}{dt} = \frac{\partial U}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial U}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial U}{\partial z} \frac{dz}{dt} = \nabla U \cdot v = -F \cdot v$

また、(a)より、$\frac{dK}{dt} = F \cdot v$ なので、

$\frac{dE}{dt} = F \cdot v - F \cdot v = 0$

したがって、$E(t) = E(0)$ が示された。

3. 最終的な答え

(a) $\frac{dK}{dt} = F \cdot v$

(b) $W = \Delta K$

(c) $E(t) = E(0)$