質量 $m$ の質点を $x=0$ から初速 $v=0$ で自由落下させる。鉛直下向きを $x$ 軸の正の向きとする。 (a) ポテンシャルエネルギー $U$ と速度 $v$ を $x$ の関数として求めよ。 (b) 運動エネルギー $K$ とポテンシャルエネルギー $U$ の $x$ 依存性を一つのグラフに図示し、グラフの物理的意味を説明せよ。 (c) 位置 $x$ の時間依存性を、(a)で求めた $v$ を用いて求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点を $x=0$ から初速 $v=0$ で自由落下させる。鉛直下向きを $x$ 軸の正の向きとする。

(a) ポテンシャルエネルギー $U$ と速度 $v$ を $x$ の関数として求めよ。

(b) 運動エネルギー $K$ とポテンシャルエネルギー $U$ の $x$ 依存性を一つのグラフに図示し、グラフの物理的意味を説明せよ。

(c) 位置 $x$ の時間依存性を、(a)で求めた $v$ を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

(a) ポテンシャルエネルギーと速度の導出

重力加速度を $g$ とする。ポテンシャルエネルギー $U$ は、基準点を $x=0$ とすると、

$U(x) = -mgx$

運動エネルギー $K$ は、力学的エネルギー保存則より、

$K(x) + U(x) = K(0) + U(0)$

$K(x) -mgx = 0 + 0$

$K(x) = mgx$

運動エネルギーは $K = \frac{1}{2}mv^2$ でもあるので、

$\frac{1}{2}mv^2 = mgx$

$v^2 = 2gx$

$v = \sqrt{2gx}$

(b) エネルギーのグラフと物理的意味

運動エネルギーとポテンシャルエネルギーのグラフは、横軸を $x$ 、縦軸をエネルギーとして描かれる。

ポテンシャルエネルギーは $U(x) = -mgx$ なので、$x$ に比例して負の方向に直線的に減少する。

運動エネルギーは $K(x) = mgx$ なので、$x$ に比例して正の方向に直線的に増加する。

グラフの物理的意味：

* 全エネルギーは保存されており、$U+K=0$で一定である。

* $x$ が増加するにつれて、ポテンシャルエネルギーが減少し、その分だけ運動エネルギーが増加する。

* $x=0$ でポテンシャルエネルギーは最大 ($0$) で、運動エネルギーは最小 ($0$) である。

* $x$ が大きくなるほど、質点の速度は増加する。

(c) 位置の時間依存性

(a)で求めた $v$ を用いる。 $v = \frac{dx}{dt}$ なので、

$\frac{dx}{dt} = \sqrt{2gx}$

$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \sqrt{2g} dt$

両辺を積分する。

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int \sqrt{2g} dt$

$2\sqrt{x} = \sqrt{2g}t + C$

初期条件 $t=0$ で $x=0$ より、$C=0$ 。

$2\sqrt{x} = \sqrt{2g}t$

$\sqrt{x} = \frac{\sqrt{2g}}{2}t$

$x = \frac{2g}{4}t^2 = \frac{1}{2}gt^2$

3. 最終的な答え

(a) ポテンシャルエネルギー：$U(x) = -mgx$ 、速度：$v(x) = \sqrt{2gx}$

(b) グラフについては説明を参照。

(c) 位置の時間依存性：$x(t) = \frac{1}{2}gt^2$