問題3：2次関数 $y = 2(x - 2)^2 - 3$ の $0 \leq x \leq 3$ における最大値と最小値を求めよ。 問題4：長さ6mの金網を直角に折り曲げて、直角な壁の隅に囲いを作る。囲いの面積を最大にするには、金網をどのように折り曲げればよいか。

1. 問題の内容

問題3：2次関数 $y = 2(x - 2)^2 - 3$ の $0 \leq x \leq 3$ における最大値と最小値を求めよ。

問題4：長さ6mの金網を直角に折り曲げて、直角な壁の隅に囲いを作る。囲いの面積を最大にするには、金網をどのように折り曲げればよいか。

2. 解き方の手順

問題3：

まず、与えられた2次関数 $y = 2(x - 2)^2 - 3$ の頂点を求めます。この関数は標準形なので、頂点は $(2, -3)$ です。次に、定義域の端点 $x = 0$ と $x = 3$ での $y$ の値を計算します。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0 - 2)^2 - 3 = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5$ です。

$x = 3$ のとき、$y = 2(3 - 2)^2 - 3 = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$ です。

頂点の $y$ 座標は $-3$ で、定義域内に頂点が存在します。

よって、最大値は $5$ ($x = 0$ のとき)で、最小値は $-3$ ($x = 2$ のとき)です。

問題4：

金網の端から $x$ m のところで折り曲げたときの面積を $S$ とします。すると、もう一方の辺の長さは $6 - x$ m となります。囲いの面積 $S$ は $S = x(6 - x)$ と表されます。

$S = x(6 - x) = 6x - x^2 = -x^2 + 6x$

この2次関数を平方完成します。

$S = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x - 3)^2 + 9$

よって、面積 $S$ を最大にする $x$ の値は $3$ です。つまり、金網を3mのところで折り曲げれば面積が最大になります。

3. 最終的な答え

問題3：

最大値：5

最小値：-3

問題4：

金網を3mのところで折り曲げればよい。