行列 $A, B, C, D$ が与えられたとき、以下の計算をしなさい。 (1) $A+B$ (2) $B+C$ (3) $A+D$ (4) $A^T$ (5) $B^T$ (6) $AD$ (7) $A^T C$ (8) $DC$ ただし、行列は以下の通りである。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

行列 $A, B, C, D$ が与えられたとき、以下の計算をしなさい。

(1) $A+B$

(2) $B+C$

(3) $A+D$

(4) $A^T$

(5) $B^T$

(6) $AD$

(7) $A^T C$

(8) $DC$

ただし、行列は以下の通りである。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) $A+B$：同じサイズの行列同士の足し算は、対応する要素同士を足し合わせる。

$A+B = \begin{pmatrix} 1+2 & 2+0 \\ 3+3 & 4+5 \\ 4+2 & 5+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \\ 6 & 6 \end{pmatrix}$

(2) $B+C$：同じサイズの行列同士の足し算は、対応する要素同士を足し合わせる。

$B+C = \begin{pmatrix} 2+1 & 0+3 \\ 3+2 & 5+4 \\ 2+2 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 5 & 9 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$

(3) $A+D$：行列のサイズが異なるため、足し算は定義されない。

(4) $A^T$：行列 $A$ の転置行列は、行と列を入れ替える。

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

(5) $B^T$：行列 $B$ の転置行列は、行と列を入れ替える。

$B^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

(6) $AD$：行列 $A$ のサイズは $3 \times 2$ であり、行列 $D$ のサイズは $2 \times 2$ である。したがって、積 $AD$ は定義され、$3 \times 2$ 行列となる。

$AD = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot2 & 1\cdot2 + 2\cdot3 \\ 3\cdot1 + 4\cdot2 & 3\cdot2 + 4\cdot3 \\ 4\cdot1 + 5\cdot2 & 4\cdot2 + 5\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 11 & 18 \\ 14 & 23 \end{pmatrix}$

(7) $A^T C$：行列 $A^T$ のサイズは $2 \times 3$ であり、行列 $C$ のサイズは $3 \times 2$ である。したがって、積 $A^T C$ は定義され、$2 \times 2$ 行列となる。

$A^T C = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 3\cdot2 + 4\cdot2 & 1\cdot3 + 3\cdot4 + 4\cdot1 \\ 2\cdot1 + 4\cdot2 + 5\cdot2 & 2\cdot3 + 4\cdot4 + 5\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 19 \\ 20 & 27 \end{pmatrix}$

(8) $DC$：行列 $D$ のサイズは $2 \times 2$ であり、行列 $C$ のサイズは $3 \times 2$ である。したがって、積 $DC$ は定義されない。

3. 最終的な答え

(1) $A+B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \\ 6 & 6 \end{pmatrix}$

(2) $B+C = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 5 & 9 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$

(3) $A+D$ は定義されない。

(4) $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

(5) $B^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

(6) $AD = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 11 & 18 \\ 14 & 23 \end{pmatrix}$

(7) $A^T C = \begin{pmatrix} 15 & 19 \\ 20 & 27 \end{pmatrix}$

(8) $DC$ は定義されない。