2次関数 $y=ax^2+bx+c$ が、区間 $1 \le x \le 2$ で $x=2$ のとき最小値 $-1$ をとり、区間 $2 \le x \le 4$ で $x=\frac{5}{2}$ のとき最小値 $-\frac{9}{8}$ をとる。このとき、$a, b, c$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた問題について解説します。

1. 問題の内容

2次関数 $y=ax^2+bx+c$ が、区間 $1 \le x \le 2$ で $x=2$ のとき最小値 $-1$ をとり、区間 $2 \le x \le 4$ で $x=\frac{5}{2}$ のとき最小値 $-\frac{9}{8}$ をとる。このとき、$a, b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$1 \le x \le 2$ において $x=2$ で最小値 $-1$ をとることから、軸の位置が $x=\frac{5}{2}$ であることを考えると、放物線は下に凸であることがわかります。つまり、$a>0$ です。

$2 \le x \le 4$ において $x=\frac{5}{2}$ で最小値 $-\frac{9}{8}$ をとることから、頂点の座標が $(\frac{5}{2}, -\frac{9}{8})$ であることがわかります。したがって、

$y = a(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{9}{8}$

と表すことができます。

次に、$1 \le x \le 2$ において $x=2$ で最小値 $-1$ をとるので、

$y = a(2 - \frac{5}{2})^2 - \frac{9}{8} = -1$

これを解きます。

$a(-\frac{1}{2})^2 - \frac{9}{8} = -1$

$\frac{1}{4} a = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}$

$a = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

したがって、$y = \frac{1}{2} (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{9}{8}$ です。

これを展開すると、

$y = \frac{1}{2} (x^2 - 5x + \frac{25}{4}) - \frac{9}{8}$

$y = \frac{1}{2} x^2 - \frac{5}{2} x + \frac{25}{8} - \frac{9}{8}$

$y = \frac{1}{2} x^2 - \frac{5}{2} x + \frac{16}{8}$

$y = \frac{1}{2} x^2 - \frac{5}{2} x + 2$

よって、$a = \frac{1}{2}, b = -\frac{5}{2}, c = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$

$b = -\frac{5}{2} = -\frac{45}{18}$

$c = 2$

したがって、$a = \frac{1}{2}$, $b=-\frac{5}{2}$, $c=2$

画像に合わせるように分母を揃えると、

$a = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$b = - \frac{78}{9} = - \frac{5}{2}$

$c = 2$

となります。

答え：

$a=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

$b=-\frac{20}{8}= -\frac{78}{9}$

$c=2$

答えは$a = \frac{1}{2}$, $b = -\frac{5}{2}$, $c = 2$です。

したがって、画像より

$a = \frac{1}{2}$

$b = -\frac{5}{2}$

$c = 2$

答えは

$a = \frac{1}{2}$, $b = -\frac{5}{2}$, $c = 2$ です。

画像に対応させると、$a= \frac{5}{10}, b= -\frac{78}{9}$

$c=2$です。