数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられています。 $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n - 1$ $b_1 = 4$, $b_{n+1} = b_n + 3 \cdot 2^{2n-1}$ 数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ のすべての項を小さい順に並べてできる数列を $\{c_n\}$ とするとき、$\sum_{k=1}^{3n-1} c_k$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられています。

$a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n - 1$

$b_1 = 4$, $b_{n+1} = b_n + 3 \cdot 2^{2n-1}$

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ のすべての項を小さい順に並べてできる数列を $\{c_n\}$ とするとき、$\sum_{k=1}^{3n-1} c_k$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項を求めます。

数列 $\{a_n\}$ について、$a_{n+1} = 2a_n - 1$ を変形すると、$a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$ となります。よって、数列 $\{a_n - 1\}$ は初項 $a_1 - 1 = 3 - 1 = 2$, 公比 2 の等比数列です。

したがって、$a_n - 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ より、$a_n = 2^n + 1$ となります。

次に、数列 $\{b_n\}$ について、$b_{n+1} = b_n + 3 \cdot 2^{2n-1}$ より、$b_{n+1} - b_n = 3 \cdot 2^{2n-1}$ となります。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{2k-1} = 4 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2} \cdot 4^k = 4 + \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{n-1} 4^k$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{k=1}^{n-1} 4^k = \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4-1} = \frac{4}{3}(4^{n-1} - 1)$

したがって、$b_n = 4 + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}(4^{n-1} - 1) = 4 + 2(4^{n-1} - 1) = 4 + 2 \cdot 4^{n-1} - 2 = 2 + 2 \cdot 4^{n-1} = 2 + 2 \cdot 2^{2(n-1)} = 2 + 2^{2n-1}$

$a_n = 2^n + 1$

$b_n = 2^{2n-1} + 2$

ここで、$a_n < b_n$ であることを示します。

$2^n + 1 < 2^{2n-1} + 2 \iff 2^n < 2^{2n-1} + 1$

$n=1$ のとき、$2 < 2 + 1$ なので成り立ちます。

$n \ge 2$ のとき、$2^{2n-1}$ は $2^n$ よりはるかに大きいので、常に成り立ちます。

$\{a_n\}$ の最初の $n$ 項と $\{b_n\}$ の最初の $n$ 項を小さい順に並べたものが $\{c_k\}_{k=1}^{2n}$ となります。このとき $c_k$は $a_k$または$b_k$のいずれかである。問題は、 $3n-1$ 項までの和を求めることなので、$c_k$が$a_k$か$b_k$かを考慮する必要があります。

$\{c_k\}$は$a_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, \dots, b_n$を小さい順に並べたものであるため、$a_1 < a_2 < \dots < a_n$ かつ $b_1 < b_2 < \dots < b_n$ であることを利用して、それぞれの数列の和を求めることを考えます。

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (2^k + 1) = \sum_{k=1}^n 2^k + \sum_{k=1}^n 1 = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} + n = 2^{n+1} - 2 + n$

$\sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^n (2^{2k-1} + 2) = \sum_{k=1}^n 2^{2k-1} + \sum_{k=1}^n 2 = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} 4^k + 2n = \frac{1}{2} \cdot \frac{4(4^n - 1)}{4-1} + 2n = \frac{2}{3}(4^n - 1) + 2n = \frac{2}{3}(2^{2n} - 1) + 2n$

$\sum_{k=1}^{3n-1} c_k$ を求めるために、$a_n$ の $n$ 項, $b_n$ の $n$ 項 を単純に足し合わせることはできないため、数列 $\{c_k\}$ を直接求める必要があります。しかし問題文に与えられているのは、$\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ のみを小さい順に並べてできる数列を $\{c_k\}$ とすることのみであるため、具体的な数列 $\{c_k\}$ を求めることは難しいです。

ここで、$n$ が十分に大きい場合、$a_n$ と $b_n$ が交互に現れることはないと考えられます。$a_1 = 3$, $a_2 = 5$, $a_3 = 9$, $a_4 = 17, \dots$

$b_1 = 4$, $b_2 = 6$, $b_3 = 10$, $b_4 = 18, \dots$

$c_1=3, c_2=4, c_3=5, c_4=6, c_5=9, c_6=10, c_7=17, c_8=18$

$n$ が大きくなるほど、$b_n$ の増加速度が $a_n$ よりも大きいため、$a_n < b_n$ であることを考慮すると、$a_1 < a_2 < \dots < a_n < b_1 < b_2 < \dots < b_n$ となることが予想されます。したがって、$\{c_k\} = \{a_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, \dots, b_n\}$ と仮定します。ただし、 $3n-1$ 項までしか足さないことに注意が必要です。

$\{c_k\}_{k=1}^{2n} = \{a_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, \dots, b_n\}$ であるとき, $\{c_k\}_{k=1}^{3n-1}$ を求める。

$n \le 3n-1 < 2n$ となる$n$が存在するので、$a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_{2n-1}$のように考える。

問題より数列 $\{c_k\}$ は $\{a_k\}$, $\{b_k\}$ のすべての項を小さい順に並べたものであるため、$\{c_k\}$ の具体的な値を特定することができません。しかし、$\sum_{k=1}^{3n-1} c_k$ を求めるために、この数列を $\{a_n\}, \{b_n\}$ を用いて表すことは難しいです。

問題の意図を考えると、具体的な数列 $\{c_k\}$ を求めるのではなく、$\{a_n\}, \{b_n\}$ を用いて $\sum_{k=1}^{3n-1} c_k$ を表すことを期待していると考えられます。

しかし、現時点では、問題の意図を正確に把握することができません。したがって、現時点での回答は困難です。

3. 最終的な答え

回答できません。