(1) 2次不等式 $-x^2 + 5x - 3 > 0$ の解を求める。 (2) 連立不等式 $x^2 + 2x - 3 \le 0$ $3x^2 + 5x - 2 > 0$ の解を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次不等式 $-x^2 + 5x - 3 > 0$ の解を求める。

(2) 連立不等式

$x^2 + 2x - 3 \le 0$

$3x^2 + 5x - 2 > 0$

の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $-x^2 + 5x - 3 > 0$ を解く。

両辺に $-1$ をかけて、$x^2 - 5x + 3 < 0$

$x^2 - 5x + 3 = 0$ の解を求める。

解の公式より、

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

したがって、$x^2 - 5x + 3 < 0$ の解は、$\frac{5 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$

(2) 連立不等式

$x^2 + 2x - 3 \le 0$

$3x^2 + 5x - 2 > 0$

を解く。

$x^2 + 2x - 3 \le 0$

$(x+3)(x-1) \le 0$

$-3 \le x \le 1$

$3x^2 + 5x - 2 > 0$

$(3x - 1)(x + 2) > 0$

$x < -2$ または $x > \frac{1}{3}$

したがって、連立不等式の解は、

$-3 \le x < -2$ または $\frac{1}{3} < x \le 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$

(2) $-3 \le x < -2$ または $\frac{1}{3} < x \le 1$