与えられた4つの条件について、それぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件のどれにあたるかを判断する問題です。 (1) $|a+b| > a+b$ であるために、$a+b < 0$ であることが [1] (2) $|a-b| = a-b$ であるために、$a > b$ であることが [2] (3) $|a| + |b| = |a+b|$ であるために、$ab \ge 0$ であることが [3] (4) $|a-b| > |a| - |b|$ であるために、$b<0<a$ であることが [4]

1. 問題の内容

与えられた4つの条件について、それぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件のどれにあたるかを判断する問題です。

(1) $|a+b| > a+b$ であるために、$a+b < 0$ であることが [1]

(2) $|a-b| = a-b$ であるために、$a > b$ であることが [2]

(3) $|a| + |b| = |a+b|$ であるために、$ab \ge 0$ であることが [3]

(4) $|a-b| > |a| - |b|$ であるために、$b<0<a$ であることが [4]

2. 解き方の手順

(1) $|a+b| > a+b$ であるための条件

$|a+b| > a+b$ が成り立つのは、$a+b < 0$ のときです。

- $a+b < 0$ ならば $|a+b| > a+b$ は常に成り立ちます。($a+b < 0$ ならば $|a+b| = -(a+b) > a+b$)

- 逆に、$|a+b| > a+b$ ならば $a+b < 0$ となります。($a+b \ge 0$ならば$|a+b|=a+b$)

したがって、$a+b < 0$ は $|a+b| > a+b$ であるための必要十分条件です。

(2) $|a-b| = a-b$ であるための条件

$|a-b| = a-b$ が成り立つのは、$a-b \ge 0$、つまり $a \ge b$ のときです。問題文では、$a>b$となっています。

- $a > b$ ならば、$|a-b| = a-b$ は成り立ちます。($a>b$ならば$a-b>0$なので$|a-b| = a-b$)

- 逆に、$|a-b| = a-b$ ならば、$a \ge b$ となります。しかし、$a=b$のときも$|a-b|=0=a-b$となるので、$a>b$である必要はありません。

したがって、$a>b$は、$|a-b| = a-b$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

(3) $|a| + |b| = |a+b|$ であるための条件

$|a| + |b| = |a+b|$ が成り立つのは、$ab \ge 0$ のときです。

- $ab \ge 0$ ならば $|a| + |b| = |a+b|$ は成り立ちます。($a, b$が同符号の場合)

- 逆に、$|a| + |b| = |a+b|$ ならば $ab \ge 0$ となります。

したがって、$ab \ge 0$ は $|a| + |b| = |a+b|$ であるための必要十分条件です。

(4) $|a-b| > |a| - |b|$ であるための条件

$b<0<a$のとき、$|a-b| > |a| - |b|$が成り立つか確認します。

$|a-b| = a-b$, $|a| = a$, $|b| = -b$ なので、

$|a-b| > |a| - |b|$は、$a-b > a - (-b)$ つまり $a-b > a+b$となります。

これは$-b > b$、つまり$2b < 0$なので$b<0$であれば成り立ちます。

$b<0<a$のとき$|a-b| > |a| - |b|$が成り立つので、これは十分条件です。

逆に、$|a-b| > |a| - |b|$が成り立つとき、$b<0<a$である必要があるか確認します。

$|a-b| > |a|-|b|$のとき、$b<0<a$である必要はありません。

例：$a = 2, b = -3$

$|a-b| = |2 - (-3)| = |5| = 5$

$|a| - |b| = |2| - |-3| = 2 - 3 = -1$

$5 > -1$ は成り立ちますが、$b < 0 < a$ ではありません。

したがって、$b < 0 < a$ は $|a-b| > |a| - |b|$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

以上より、

[1]：④

[2]：③

[3]：④

[4]：③

3. 最終的な答え

1. ④

2. ③

3. ④

4. ③