与えられた2次関数のグラフを書き、軸と頂点を求める問題です。関数は以下の6つです。 (1) $y=x^2 - 2x - 2$ (2) $y=2x^2 + 8x - 1$ (3) $y=-x^2 + 4x - 4$ (4) $y=\frac{1}{2}x^2 + 3x + 3$ (5) $y=-\frac{1}{2}x^2 - x$ (6) $y=(x+2)(2x-1)$

1. 問題の内容

与えられた2次関数のグラフを書き、軸と頂点を求める問題です。関数は以下の6つです。

(1) $y=x^2 - 2x - 2$

(2) $y=2x^2 + 8x - 1$

(3) $y=-x^2 + 4x - 4$

(4) $y=\frac{1}{2}x^2 + 3x + 3$

(5) $y=-\frac{1}{2}x^2 - x$

(6) $y=(x+2)(2x-1)$

2. 解き方の手順

それぞれの関数を平方完成させ、標準形 $y=a(x-p)^2 + q$ に変形します。このとき、頂点の座標は $(p, q)$ となり、軸は $x=p$ となります。

(1) $y=x^2 - 2x - 2$

$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 2$

$y = (x - 1)^2 - 3$

頂点: $(1, -3)$

軸: $x=1$

(2) $y=2x^2 + 8x - 1$

$y = 2(x^2 + 4x) - 1$

$y = 2(x^2 + 4x + 4) - 8 - 1$

$y = 2(x + 2)^2 - 9$

頂点: $(-2, -9)$

軸: $x=-2$

(3) $y=-x^2 + 4x - 4$

$y = -(x^2 - 4x) - 4$

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 4 - 4$

$y = -(x - 2)^2$

頂点: $(2, 0)$

軸: $x=2$

(4) $y=\frac{1}{2}x^2 + 3x + 3$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 6x) + 3$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 6x + 9) - \frac{9}{2} + 3$

$y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - \frac{3}{2}$

頂点: $(-3, -\frac{3}{2})$

軸: $x=-3$

(5) $y=-\frac{1}{2}x^2 - x$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x)$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + \frac{1}{2}$

頂点: $(-1, \frac{1}{2})$

軸: $x=-1$

(6) $y=(x+2)(2x-1) = 2x^2 + 3x - 2$

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x) - 2$

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) - \frac{9}{8} - 2$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{8}$

頂点: $(-\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$

軸: $x=-\frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(1, -3)$, 軸: $x=1$

(2) 頂点: $(-2, -9)$, 軸: $x=-2$

(3) 頂点: $(2, 0)$, 軸: $x=2$

(4) 頂点: $(-3, -\frac{3}{2})$, 軸: $x=-3$

(5) 頂点: $(-1, \frac{1}{2})$, 軸: $x=-1$

(6) 頂点: $(-\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$, 軸: $x=-\frac{3}{4}$