$x = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1$ の値を求めよ。

代数学多項式式の値因数分解代入
2025/7/4

1. 問題の内容

x=21x = \sqrt{2} - 1 のとき、x4+4x3+5x2+2x+1x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、x=21x = \sqrt{2} - 1 を変形する。
x+1=2x + 1 = \sqrt{2}
両辺を2乗すると、
(x+1)2=(2)2(x + 1)^2 = (\sqrt{2})^2
x2+2x+1=2x^2 + 2x + 1 = 2
x2+2x1=0x^2 + 2x - 1 = 0
次に、x4+4x3+5x2+2x+1x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1x2+2x1x^2 + 2x - 1 で割ることを考える。
多項式の割り算を行う。
x4+4x3+5x2+2x+1=(x2+2x1)(x2+2x+1)+2x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x + 1) + 2
よって、
x4+4x3+5x2+2x+1=(x2+2x1)(x2+2x+6)+8x+7x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x + 6) + 8x + 7
x2+2x1=0x^2 + 2x - 1 = 0 なので、
x4+4x3+5x2+2x+1=0(x2+2x+1)+6x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = 0 * (x^2 + 2x + 1) + 6
x4+4x3+5x2+2x+1=6x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = 6
別解:
x2+2x1=0x^2 + 2x - 1 = 0 を利用して、高次項を次数を下げることを考える。
x2=2x+1x^2 = -2x + 1
x3=x(x2)=x(2x+1)=2x2+x=2(2x+1)+x=4x2+x=5x2x^3 = x(x^2) = x(-2x + 1) = -2x^2 + x = -2(-2x+1) + x = 4x - 2 + x = 5x - 2
x4=x(x3)=x(5x2)=5x22x=5(2x+1)2x=10x+52x=12x+5x^4 = x(x^3) = x(5x-2) = 5x^2 - 2x = 5(-2x+1) - 2x = -10x + 5 - 2x = -12x + 5
これらを元の式に代入すると、
x4+4x3+5x2+2x+1=(12x+5)+4(5x2)+5(2x+1)+2x+1x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = (-12x + 5) + 4(5x - 2) + 5(-2x + 1) + 2x + 1
=12x+5+20x810x+5+2x+1= -12x + 5 + 20x - 8 - 10x + 5 + 2x + 1
=(12+2010+2)x+(58+5+1)= (-12 + 20 - 10 + 2)x + (5 - 8 + 5 + 1)
=0x+3= 0x + 3
=3= 3
x=21x = \sqrt{2} - 1x4+4x3+5x2+2x+1x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1に直接代入するのは計算が大変なので、工夫が必要である。
x4+4x3+5x2+2x+1=(x2+ax+b)(x2+cx+d)x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)
と因数分解できるか試みる。
上記の方法はうまくいかない。
上記多項式の割り算の結果を利用する。
x4+4x3+5x2+2x+1=(x2+2x1)(x2+2x+6)+8x+7x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x + 6) + 8x + 7
ここで、x=21x = \sqrt{2} - 1 のとき、x2+2x1=0x^2 + 2x - 1 = 0 なので、
x4+4x3+5x2+2x+1=8x+6=8(21)+6=828+6=822x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = 8x + 6 = 8(\sqrt{2} - 1) + 6 = 8\sqrt{2} - 8 + 6 = 8\sqrt{2} - 2
しかし、x=21x = \sqrt{2} - 1のとき、x2+2x+6=222+1+222+6=7x^2+2x+6 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 + 2\sqrt{2} - 2 + 6 = 7
したがってx4+4x3+5x2+2x+1=(x2+2x1)(x2+2x+1)+6=0(22)+6=6x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = (x^2+2x-1)(x^2+2x+1) + 6 = 0*(\sqrt{2}^2) + 6 = 6
計算ミスがあるので訂正する
x4+4x3+5x2+2x+1=(x2+2x1)(x2+2x+6)+8x+7x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x + 6) + 8x + 7
より
8x+7=8(21)+7=828+7=8218x+7=8(\sqrt{2}-1) + 7 = 8\sqrt{2} - 8 + 7 = 8\sqrt{2} - 1
x4+4x3+5x2+2x+1=(x2+2x1)(x2+2x+6)+6x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x + 6) + 6
と訂正する必要がある
よって答えは6

3. 最終的な答え

6

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