等差数列 $\{a_n\}$ において、$a_{10} = 29$、$a_2 + a_4 + a_6 = 33$ であるとき、初項 $a_1$ と公差 $d$ を求め、さらに $a_n = 62$ となるような $n$ を求め、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ において、$a_{10} = 29$、$a_2 + a_4 + a_6 = 33$ であるとき、初項 $a_1$ と公差 $d$ を求め、さらに $a_n = 62$ となるような $n$ を求め、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d = 29$ ...(1)

$a_2 = a_1 + d$

$a_4 = a_1 + 3d$

$a_6 = a_1 + 5d$

$a_2 + a_4 + a_6 = (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 3a_1 + 9d = 33$ ...(2)

(2)式を3で割ると、$a_1 + 3d = 11$ ...(3)

(1)式から(3)式を引くと、

$(a_1 + 9d) - (a_1 + 3d) = 29 - 11$

$6d = 18$

$d = 3$

$d=3$を(3)式に代入すると、$a_1 + 3(3) = 11$

$a_1 + 9 = 11$

$a_1 = 2$

(2) $a_n = a_1 + (n-1)d = 62$ より

$2 + (n-1)3 = 62$

$2 + 3n - 3 = 62$

$3n - 1 = 62$

$3n = 63$

$n = 21$

(3) 等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ または $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$ である。

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$ に $a_1 = 2$, $d = 3$ を代入すると、

$S_n = \frac{n}{2}(2(2) + (n-1)3) = \frac{n}{2}(4 + 3n - 3) = \frac{n}{2}(3n + 1)$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3

ウエ: 21

オ: 3n

カ: 1