複素数 $w$ と $z$ があり、$w = \frac{z-4}{z+2}$ を満たす。複素数平面上で、点 $w$ が原点を中心とする半径 2 の円上を動くとき、点 $z$ はどのような図形を描くか。

1. 問題の内容

複素数 $w$ と $z$ があり、$w = \frac{z-4}{z+2}$ を満たす。複素数平面上で、点 $w$ が原点を中心とする半径 2 の円上を動くとき、点 $z$ はどのような図形を描くか。

2. 解き方の手順

まず、$|w| = 2$ であるから、

$$\left| \frac{z-4}{z+2} \right| = 2$$

これより、

$$|z-4| = 2|z+2|$$

両辺を2乗すると、

$$|z-4|^2 = 4|z+2|^2$$

ここで、$z = x + yi$ とおくと、$|z-4|^2 = (x-4)^2 + y^2$ および $|z+2|^2 = (x+2)^2 + y^2$ となる。

したがって、

$$(x-4)^2 + y^2 = 4((x+2)^2 + y^2)$$

展開すると、

$$x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4(x^2 + 4x + 4 + y^2)$$

$$x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4x^2 + 16x + 16 + 4y^2$$

移項して整理すると、

$$3x^2 + 24x + 3y^2 = 0$$

$$x^2 + 8x + y^2 = 0$$

平方完成すると、

$$(x+4)^2 - 16 + y^2 = 0$$

$$(x+4)^2 + y^2 = 16$$

これは中心が $-4$ で半径が 4 の円を表す。

あるいは、以下のように複素数のまま計算できる。

$|z-4| = 2|z+2|$ より

$|z-4|^2 = 4|z+2|^2$

$(z-4)(\overline{z-4}) = 4(z+2)(\overline{z+2})$

$(z-4)(\overline{z} - 4) = 4(z+2)(\overline{z} + 2)$

$z\overline{z} - 4z - 4\overline{z} + 16 = 4(z\overline{z} + 2z + 2\overline{z} + 4)$

$z\overline{z} - 4z - 4\overline{z} + 16 = 4z\overline{z} + 8z + 8\overline{z} + 16$

$0 = 3z\overline{z} + 12z + 12\overline{z}$

$0 = z\overline{z} + 4z + 4\overline{z}$

両辺に $4^2 = 16$ を加えると

$16 = z\overline{z} + 4z + 4\overline{z} + 16 = (z+4)(\overline{z}+4) = (z+4)(\overline{z+4}) = |z+4|^2$

$|z+4|^2 = 16$

$|z+4| = 4$

これは点 $-4$ を中心とする半径 4 の円を表す。

3. 最終的な答え

点 $z$ は、点 $-4$ を中心とする半径 4 の円を描く。