$x = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sqrt{2} - 1$ を変形して、$x + 1 = \sqrt{2}$ とします。

両辺を2乗すると、$(x + 1)^2 = (\sqrt{2})^2$ より、$x^2 + 2x + 1 = 2$ となります。

したがって、$x^2 + 2x - 1 = 0$ が得られます。

次に、与えられた式 $x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ることを考えます。筆算または組立除法を行うと、

$x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = (x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x + 3) + 4$ となります。

$x^2 + 2x - 1 = 0$ なので、

$x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = (0)(x^2 + 2x + 3) + 4 = 4$ となります。

3. 最終的な答え

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