自然数 $n$ に対して、以下の等式を数学的帰納法を用いて証明する。 $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}$

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、以下の等式を数学的帰納法を用いて証明する。

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}$

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明する。

(1) $n=1$ のとき

左辺は $\frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$

右辺は $\frac{1}{2(1)+1} = \frac{1}{3}$

よって、$n=1$ のとき等式は成り立つ。

(2) $n=k$ のとき等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{k}{2k+1}$

が成り立つと仮定する。

(3) $n=k+1$ のとき、等式が成り立つことを示す。

$n=k+1$ のときの左辺は、

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} + \frac{1}{(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}$

$= \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$

ここで、$n=k$ のときの仮定を用いると、

$\frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k(2k+3) + 1}{(2k+1)(2k+3)}$

$= \frac{2k^2 + 3k + 1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3}$

一方、$n=k+1$ のときの右辺は、

$\frac{k+1}{2(k+1)+1} = \frac{k+1}{2k+2+1} = \frac{k+1}{2k+3}$

したがって、$n=k+1$ のときも等式が成り立つ。

(1), (2), (3) より、数学的帰納法によって、全ての自然数 $n$ に対して等式が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}$