不等式 $|x+2| + |2x-1| \le x+7$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|x+2| + |2x-1| \le x+7$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

場合分けの基準は $x+2=0$ と $2x-1=0$、つまり $x=-2$ と $x=\frac{1}{2}$ です。

(i) $x < -2$ のとき

$x+2 < 0$ かつ $2x-1 < 0$ なので、

$|x+2| = -(x+2) = -x-2$

$|2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$

与えられた不等式は、

$-x-2 -2x+1 \le x+7$

$-3x -1 \le x+7$

$-8 \le 4x$

$-2 \le x$

したがって、$-2 \le x < -2$ となりますが、これは存在しません。

(ii) $-2 \le x < \frac{1}{2}$ のとき

$x+2 \ge 0$ かつ $2x-1 < 0$ なので、

$|x+2| = x+2$

$|2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$

与えられた不等式は、

$x+2 -2x+1 \le x+7$

$-x + 3 \le x+7$

$-4 \le 2x$

$-2 \le x$

したがって、$-2 \le x < \frac{1}{2}$ となります。

(iii) $\frac{1}{2} \le x$ のとき

$x+2 > 0$ かつ $2x-1 \ge 0$ なので、

$|x+2| = x+2$

$|2x-1| = 2x-1$

与えられた不等式は、

$x+2 + 2x-1 \le x+7$

$3x + 1 \le x+7$

$2x \le 6$

$x \le 3$

したがって、$\frac{1}{2} \le x \le 3$ となります。

(i), (ii), (iii) より、$-2 \le x \le 3$

3. 最終的な答え

$-2 \le x \le 3$