数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 1$ ($n=1, 2, 3, \dots$) によって定められるとき、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表しなさい。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 1$ ($n=1, 2, 3, \dots$) によって定められるとき、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表しなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 1$ を変形します。特性方程式 $x = 3x - 1$ を解くと、 $2x = 1$ より $x = \frac{1}{2}$ を得ます。したがって、漸化式は次のように変形できます。

$a_{n+1} - \frac{1}{2} = 3(a_n - \frac{1}{2})$

ここで、 $b_n = a_n - \frac{1}{2}$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 $3$ の等比数列であることがわかります。

初項 $b_1$ は、

$b_1 = a_1 - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、数列 $\{b_n\}$ の一般項は、

$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = \frac{1}{2} \cdot 3^{n-1}$

$a_n = b_n + \frac{1}{2}$ であるから、

$a_n = \frac{1}{2} \cdot 3^{n-1} + \frac{1}{2} = \frac{3^{n-1} + 1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3^{n-1} + 1}{2}$