$x$ と $y$ が互いに関係なく変化するとき、$P = x^2 - 2xy + 2y^2 + 4x + 2y + 6$ の最小値と、そのときの $x$ と $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x$ と $y$ が互いに関係なく変化するとき、$P = x^2 - 2xy + 2y^2 + 4x + 2y + 6$ の最小値と、そのときの $x$ と $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$P$ を $x$ について平方完成させる。

$P = (x^2 - 2xy + 4x) + 2y^2 + 2y + 6$

$P = (x^2 - 2x(y-2)) + 2y^2 + 2y + 6$

$P = (x - (y-2))^2 - (y-2)^2 + 2y^2 + 2y + 6$

$P = (x - y + 2)^2 - (y^2 - 4y + 4) + 2y^2 + 2y + 6$

$P = (x - y + 2)^2 - y^2 + 4y - 4 + 2y^2 + 2y + 6$

$P = (x - y + 2)^2 + y^2 + 6y + 2$

次に、$y^2 + 6y + 2$ を平方完成させる。

$y^2 + 6y + 2 = (y+3)^2 - 9 + 2 = (y+3)^2 - 7$

したがって、

$P = (x - y + 2)^2 + (y+3)^2 - 7$

$P$ が最小となるのは、$(x - y + 2)^2 = 0$ かつ $(y+3)^2 = 0$ のときである。

したがって、$y + 3 = 0$ より $y = -3$。

また、$x - y + 2 = 0$ より $x = y - 2 = -3 - 2 = -5$。

最小値は $P = 0 + 0 - 7 = -7$ である。

3. 最終的な答え

$x = -5$

$y = -3$

最小値：-7