この問題は、数学Bの受験者向けの穴埋め問題です。一次式、不等式、二次関数、順列、箱ひげ図に関する設問があります。具体的には以下の通りです。 (1) $ax^2 + 2ax + x + 2$ を因数分解する。 (2) 不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ の解を求め、集合 $A = \{x | -8 \le 3x - 5 \le 4\}$、$B = \{x | x \ge a\}$ とする。$A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲を求める。 (3) 2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ (aは定数) がある。$y = f(x)$ のグラフの軸、および $f(x)$ の最小値が $\frac{1}{2}$ であるとき、$a$ の値を求める。 (4) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 の9個の数字の中から、異なる3個の数字を並べて3桁の整数をつくる。3桁の整数は全部で何個あるか、このうち500以上の整数は何個あるかを求める。 (5) 24人の生徒に行った数学のテストの得点のデータの箱ひげ図から、四分位範囲を求め、箱ひげ図から読み取れる内容として必ず正しいものを選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

この問題は、数学Bの受験者向けの穴埋め問題です。一次式、不等式、二次関数、順列、箱ひげ図に関する設問があります。具体的には以下の通りです。

(1) $ax^2 + 2ax + x + 2$ を因数分解する。

(2) 不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ の解を求め、集合 $A = \{x | -8 \le 3x - 5 \le 4\}$、$B = \{x | x \ge a\}$ とする。$A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

(3) 2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ (aは定数) がある。$y = f(x)$ のグラフの軸、および $f(x)$ の最小値が $\frac{1}{2}$ であるとき、$a$ の値を求める。

(4) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 の9個の数字の中から、異なる3個の数字を並べて3桁の整数をつくる。3桁の整数は全部で何個あるか、このうち500以上の整数は何個あるかを求める。

(5) 24人の生徒に行った数学のテストの得点のデータの箱ひげ図から、四分位範囲を求め、箱ひげ図から読み取れる内容として必ず正しいものを選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) $ax^2 + 2ax + x + 2$ を因数分解する。

$ax(x+2) + (x+2) = (ax+1)(x+2)$

(2) 不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ の解を求める。

$-8 \le 3x - 5 \le 4$

$-3 \le 3x \le 9$

$-1 \le x \le 3$

$A = \{x | -1 \le x \le 3\}$

$B = \{x | x \ge a\}$

$A \subset B$ となるためには、$a \le -1$

(3) 2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$

$f(x) = 2(x^2 - 3x) + a = 2(x - \frac{3}{2})^2 - 2 \cdot (\frac{3}{2})^2 + a = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + a$

グラフの軸は、$x = \frac{3}{2}$

最小値は、$a - \frac{9}{2} = \frac{1}{2}$

$a = \frac{10}{2} = 5$

(4) 9個の数字から3個選んで並べる順列の総数

$9P3 = 9 \times 8 \times 7 = 504$

500以上の整数は、百の位が5,6,7,8,9のいずれかである。

百の位が5の場合：$1 \times 8 \times 7 = 56$

百の位が6,7,8,9の場合：$4 \times 8 \times 7 = 224$

合計：$56 + 224 = 280$

(5) 箱ひげ図から読み取る。

四分位範囲は、$77 - 55 = 22$

選択肢：

1. 40点以上50点未満の生徒はちょうど6人いる

2. 50点以上の生徒は18人以上いる

3. 70点以上の生徒は12人以上いる

4. 80点以上の生徒はちょうど6人いる

箱ひげ図の中央値は67点なので、50点以上の生徒は12人以上いる。第一四分位数が55点なので、最低でも6人以上の生徒は55点以下である。したがって、50点以上の生徒は18人以上いるとは限らない。

第三四分位数は77点なので、70点以上の生徒は6人以上いる。

最高点は95点なので、80点以上の生徒が6人いることはありえない。

したがって、70点以上の生徒が12人以上いるとは限らない。

50点以上の生徒は12人以上いることは確定。選択肢に正しいものがない？

問題文を再確認すると、70点以上の生徒は12人以上いるとある。箱ひげ図から読み取ると、第三四分位点が77点なので、全体の25%以上の生徒が77点以上である。24人の25%は6人なので、77点以上の生徒は最低6人いることになる。70点以上の生徒は12人以上いるとは限らないので、これは間違い。

50点以上の生徒は18人以上いる。

24人のうち、55点以下の生徒は25%なので6人である。つまり、55点より大きい生徒は18人である。50点以上の生徒は最低でも18人以上いることが分かるので、これが正しい。

3. 最終的な答え

(1) $(ax+1)(x+2)$

(2) $a \le -1$

(3) 軸: $x = \frac{3}{2}$, $a = 5$

(4) 3桁の整数: 504個, 500以上の整数: 280個

(5) 四分位範囲: 22点, 正しいもの: 2