与えられた4x4行列の行列式を、第3行に沿った余因子展開を用いて計算します。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & -5 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、第3行に沿った余因子展開を用いて計算します。行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 3 & -4 & -5 \\

3 & -2 & 1 & 0 \\

5 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 3 & -2 & 1

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

第3行に沿った余因子展開を行うと、行列式は以下のようになります。

$$

\det(A) = 5 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{33} + 2 \cdot C_{34}

$$

ここで、$C_{ij}$ は (i, j) 成分の余因子を表します。したがって、

$$

\det(A) = 5 \cdot C_{31} + 2 \cdot C_{34}

$$

余因子 $C_{31}$ は、(3,1)成分を取り除いた3x3行列の行列式に $(-1)^{3+1} = 1$ をかけたものです。

$$

C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \det \begin{pmatrix}

3 & -4 & -5 \\

-2 & 1 & 0 \\

3 & -2 & 1

\end{pmatrix}

$$

$C_{31}$を計算するために、サラスの方法を用いると、

$$

C_{31} = 3(1)(1) + (-4)(0)(3) + (-5)(-2)(-2) - (-5)(1)(3) - 3(0)(-2) - (-4)(-2)(1) \\

= 3 + 0 - 20 + 15 - 0 + 8 = 6

$$

余因子 $C_{34}$ は、(3,4)成分を取り除いた3x3行列の行列式に $(-1)^{3+4} = -1$ をかけたものです。

$$

C_{34} = (-1)^{3+4} \cdot \det \begin{pmatrix}

2 & 3 & -4 \\

3 & -2 & 1 \\

0 & 3 & -2

\end{pmatrix}

$$

$C_{34}$を計算するために、サラスの方法を用いると、

$$

C_{34} = - [2(-2)(-2) + 3(1)(0) + (-4)(3)(3) - (-4)(-2)(0) - 2(1)(3) - 3(3)(-2)] \\

= - [8 + 0 - 36 - 0 - 6 + 18] = - [-16] = 16

$$

したがって、元の行列の行列式は、

$$

\det(A) = 5 \cdot C_{31} + 2 \cdot C_{34} = 5(6) + 2(16) = 30 + 32 = 62

$$

3. 最終的な答え

62