問題は、与えられた式 $-S=1+3(2+2^2+2^3+\dots+2^{n-1})-(3n-2)2^n$ から $S$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた式 $-S=1+3(2+2^2+2^3+\dots+2^{n-1})-(3n-2)2^n$ から $S$ を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の和の公式を用いて、括弧の中の和を計算します。$2+2^2+2^3+\dots+2^{n-1}$ は初項が2、公比が2、項数が$n-1$ の等比数列の和なので、

$2+2^2+2^3+\dots+2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2(2^{n-1}-1) = 2^n - 2$

これを元の式に代入します。

$-S = 1 + 3(2^n - 2) - (3n-2)2^n$

$-S = 1 + 3\cdot 2^n - 6 - (3n-2)2^n$

$-S = 3 \cdot 2^n - (3n-2)2^n - 5$

$-S = (3 - (3n-2))2^n - 5$

$-S = (3 - 3n + 2)2^n - 5$

$-S = (5 - 3n)2^n - 5$

$-S = -(3n-5)2^n - 5$

両辺に -1 を掛けて $S$ を求めます。

$S = (3n-5)2^n + 5$

3. 最終的な答え

$S = (3n-5)2^n + 5$