与えられた6つの式の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の式について分母を有理化します。 (1) $\frac{3}{\sqrt{5}}$ (2) $\frac{4}{\sqrt{18}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ (4) $\frac{3}{\sqrt{7} - 2}$ (5) $\frac{\sqrt{8} - \sqrt{3}}{\sqrt{8} + \sqrt{3}}$ (6) $\frac{2\sqrt{5} - 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた6つの式の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の式について分母を有理化します。

(1) $\frac{3}{\sqrt{5}}$

(2) $\frac{4}{\sqrt{18}}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

(4) $\frac{3}{\sqrt{7} - 2}$

(5) $\frac{\sqrt{8} - \sqrt{3}}{\sqrt{8} + \sqrt{3}}$

(6) $\frac{2\sqrt{5} - 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{3}{\sqrt{5}}$

分母に$\sqrt{5}$をかけることで有理化します。

$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{4}{\sqrt{18}}$

$\sqrt{18}$を簡単にします。 $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

$\frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}}$

分母に$\sqrt{2}$をかけることで有理化します。

$\frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4 \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

分母の共役である$\sqrt{5} - \sqrt{3}$を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{1 \times (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \times (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(4) $\frac{3}{\sqrt{7} - 2}$

分母の共役である$\sqrt{7} + 2$を分子と分母にかけます。

$\frac{3}{\sqrt{7} - 2} = \frac{3 \times (\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2) \times (\sqrt{7} + 2)} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{7 - 4} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{3} = \sqrt{7} + 2$

(5) $\frac{\sqrt{8} - \sqrt{3}}{\sqrt{8} + \sqrt{3}}$

分母の共役である$\sqrt{8} - \sqrt{3}$を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{8} - \sqrt{3}}{\sqrt{8} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{8} - \sqrt{3}) \times (\sqrt{8} - \sqrt{3})}{(\sqrt{8} + \sqrt{3}) \times (\sqrt{8} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{8} - \sqrt{3})^2}{8 - 3} = \frac{8 - 2\sqrt{8}\sqrt{3} + 3}{5} = \frac{11 - 2\sqrt{24}}{5} = \frac{11 - 2\sqrt{4 \times 6}}{5} = \frac{11 - 4\sqrt{6}}{5}$

(6) $\frac{2\sqrt{5} - 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

分母の共役である$\sqrt{5} + \sqrt{2}$を分子と分母にかけます。

$\frac{2\sqrt{5} - 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{5} - 5\sqrt{2}) \times (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2}) \times (\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{5}\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\sqrt{2} - 5\sqrt{2}\sqrt{5} - 5\sqrt{2}\sqrt{2}}{5 - 2} = \frac{2 \times 5 + 2\sqrt{10} - 5\sqrt{10} - 5 \times 2}{3} = \frac{10 - 3\sqrt{10} - 10}{3} = \frac{-3\sqrt{10}}{3} = -\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(3) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(4) $\sqrt{7} + 2$

(5) $\frac{11 - 4\sqrt{6}}{5}$

(6) $-\sqrt{10}$