与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は、初項が $1 \cdot 1$、第2項が $3 \cdot 3$、第3項が $5 \cdot 3^2$ となっており、一般項は $(2n-1) \cdot 3^{n-1}$ で表されます。つまり、 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$ を計算する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は、初項が $1 \cdot 1$、第2項が $3 \cdot 3$、第3項が $5 \cdot 3^2$ となっており、一般項は $(2n-1) \cdot 3^{n-1}$ で表されます。つまり、

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

を計算する必要があります。

2. 解き方の手順

この数列の和を求めるために、等比数列の和の公式を利用します。

まず、$S$ を書き出します。

$S = 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

次に、$3S$ を書き出します。

$3S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \cdots + (2n-3) \cdot 3^{n-1} + (2n-1) \cdot 3^n$

$S$ から $3S$ を引きます。

$S - 3S = 1 + (3-1) \cdot 3 + (5-3) \cdot 3^2 + \cdots + (2n-1 - (2n-3)) \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \cdots + 2 \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2(3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}) - (2n-1) \cdot 3^n$

括弧の中は等比数列の和なので、公式を使って計算します。

$3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2}$

これを代入します。

$-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n + 3^n$

$-2S = 2 \cdot 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n$

$-2S = (2-2n) \cdot 3^n - 2$

$S = (n-1) \cdot 3^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)3^n + 1$