与えられた式 $(1 + \frac{1}{\sqrt{1+x^2}})^{-1}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(1 + \frac{1}{\sqrt{1+x^2}})^{-1}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、括弧の中の分数と1を足し合わせます。

$1 + \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2}+1}{\sqrt{1+x^2}}$

次に、この式の逆数を取ります。

$(\frac{\sqrt{1+x^2}+1}{\sqrt{1+x^2}})^{-1} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}+1}$

分子と分母に$\sqrt{1+x^2} - 1$を掛けて、分母の有理化を行います。

$\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}+1} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}-1} = \frac{\sqrt{1+x^2}(\sqrt{1+x^2}-1)}{(\sqrt{1+x^2}+1)(\sqrt{1+x^2}-1)}$

分母を展開します。

$(\sqrt{1+x^2}+1)(\sqrt{1+x^2}-1) = (\sqrt{1+x^2})^2 - 1^2 = 1+x^2 - 1 = x^2$

分子を展開します。

$\sqrt{1+x^2}(\sqrt{1+x^2}-1) = (\sqrt{1+x^2})^2 - \sqrt{1+x^2} = 1+x^2 - \sqrt{1+x^2}$

したがって、

$\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}+1} = \frac{1+x^2 - \sqrt{1+x^2}}{x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1+x^2 - \sqrt{1+x^2}}{x^2}$