B1の空欄を埋める問題です。具体的には以下の問題があります。 (1) $ax^2 + 2x + x + 2$ を因数分解する問題 (2) 不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ の解と、集合 $A = \{x | -8 \le 3x - 5 \le 4 \}$, $B = \{x | x \ge a \}$としたとき、$A \subset B$となるような $a$ の値の範囲を求める問題 (3) 2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ (aは定数) のグラフの軸と、$f(x)$ の最小値が $\frac{1}{2}$ であるときの $a$ の値を求める問題 (4) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 の9個の数字の中から、異なる3個の数字を並べて3桁の整数を作る問題。3桁の整数の総数と、500以上の整数の個数を求める。 (5) 24人の生徒に行った数学のテストの箱ひげ図に関する問題。四分位範囲と箱ひげ図から読み取れる内容として必ず正しいものを選択する。

1. 問題の内容

B1の空欄を埋める問題です。具体的には以下の問題があります。

(1) $ax^2 + 2x + x + 2$ を因数分解する問題

(2) 不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ の解と、集合 $A = \{x | -8 \le 3x - 5 \le 4 \}$, $B = \{x | x \ge a \}$としたとき、$A \subset B$となるような $a$ の値の範囲を求める問題

(3) 2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ (aは定数) のグラフの軸と、$f(x)$ の最小値が $\frac{1}{2}$ であるときの $a$ の値を求める問題

(4) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 の9個の数字の中から、異なる3個の数字を並べて3桁の整数を作る問題。3桁の整数の総数と、500以上の整数の個数を求める。

(5) 24人の生徒に行った数学のテストの箱ひげ図に関する問題。四分位範囲と箱ひげ図から読み取れる内容として必ず正しいものを選択する。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた式を整理します。

$ax^2 + 2x + x + 2 = ax^2 + 3x + 2$

因数分解の形が不明なので、ここでは解答できません。

(2) 不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ を解きます。

$-8 \le 3x - 5 \le 4$

$-8 + 5 \le 3x \le 4 + 5$

$-3 \le 3x \le 9$

$-1 \le x \le 3$

したがって、不等式の解は $-1 \le x \le 3$ です。

次に、集合 $A = \{x | -1 \le x \le 3\}$ と $B = \{x | x \ge a \}$ について、$A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

$A \subset B$ となるためには、$A$ の要素が全て $B$ の要素である必要があります。

つまり、$x \ge a$ が $-1 \le x \le 3$ を満たす全ての $x$ について成り立つ必要があります。

したがって、$a \le -1$ である必要があります。

(3) 2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ について、グラフの軸を求めます。

$f(x) = 2(x^2 - 3x) + a = 2(x - \frac{3}{2})^2 - 2(\frac{3}{2})^2 + a = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + a$

したがって、グラフの軸は $x = \frac{3}{2}$ です。

次に、$f(x)$ の最小値が $\frac{1}{2}$ であるときの $a$ の値を求めます。

最小値は $f(\frac{3}{2}) = -\frac{9}{2} + a = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

したがって、$a = 5$ です。

(4) 9個の数字から異なる3個を選んで並べる順列の数を求めます。

$9P3 = 9 \times 8 \times 7 = 504$

したがって、3桁の整数は全部で504個です。

500以上の整数の個数を求めます。

百の位が5, 6, 7, 8, 9 の場合を考えます。

百の位が5の場合: 十の位は5以外の8通り、一の位は十の位以外の7通りなので、 $1 \times 8 \times 7 = 56$通り

同様に、百の位が6, 7, 8, 9の場合もそれぞれ $8 \times 7 = 56$通り。

したがって、500以上の整数は $5 \times 56 = 280$個です。

(5) 箱ひげ図から、第1四分位数は55点、第3四分位数は77点なので、四分位範囲は $77 - 55 = 22$ 点です。

箱ひげ図から読み取れる内容として必ず正しいものを選択します。

1. 40点以上50点未満の生徒はちょうど6人いる: これは箱ひげ図からは読み取れません。

2. 50点以上の生徒は18人以上いる: 24人のうち、75%が55点以上なので、24 * 0.75 = 18人以上いると言えます。

3. 70点以上の生徒は12人以上いる: これは箱ひげ図からは読み取れません。

4. 80点以上の生徒はちょうど6人いる: これは箱ひげ図からは読み取れません。

したがって、正しいのは2番です。

3. 最終的な答え

(1) (解答不能)

(2) 不等式の解: $-1 \le x \le 3$, $a$ の範囲: $a \le -1$

(3) 軸: $x = \frac{3}{2}$, $a = 5$

(4) 3桁の整数: 504個, 500以上の整数: 280個

(5) 四分位範囲: 22点, 選択肢: 2