与えられた式 $x^4 - 2x^2 - 8$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 2x^2 - 8$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = y$ と置換します。すると、与えられた式は

$y^2 - 2y - 8$

となります。この二次式を因数分解します。

積が-8、和が-2となる2つの数を見つけます。それは-4と2です。したがって、

$y^2 - 2y - 8 = (y - 4)(y + 2)$

となります。

次に、$y$ を $x^2$ に戻します。

$(x^2 - 4)(x^2 + 2)$

ここで、$x^2 - 4$ はさらに因数分解できます。これは、差の二乗の形 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ であり、$x^2 - 4 = x^2 - 2^2$ と見なせるからです。よって

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

したがって、$x^4 - 2x^2 - 8$ は

$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 2)$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 2)$